Расчет рам на смещение опор

Канонические уравнения метода перемещений при расчете рамы на действие осадки или других перемещений опор запишутся в виде.

Здесь Яц, i — 1,2, …, п, — реактивные усилия в наложенных связях от перемещений опор. Все остальные коэффициенты уравнений (9.11) определяются по установленным ранее правилам.

Пример 1. Рассмотрим пример расчета рамы, изображенной на рис. 9.21, а, на смещение опор. Опорный шарнир средней стойки сместился по линии, наклонной к горизонту под углом 45°, на величину X. Жесткости всех элементов одинаковы. Основная система показана на рис. 9.21, б, а единичные эпюры М и М₂ изображены на рис. 9.21, в, г. Эпюра моментов в основной системе от перемещения X изображена на рис. 9.21, д. Все ординаты этой эпюры определялись по табл. 9.1 и умножались на X (так как в табл. 9.1 ординаты даны при единичных смещениях опор).

Рис. 9.21.

Величины относительных смещений концов А-, стержней от перемещений узла 5 на величину X будут под углом 45°: для стержней 2—3,3—4 и 5—3 Д₂_з = Дз₄ = Д-,_з = Х/^[2. С учетом этих величин найдены ординаты эпюры моментов в основной системе. _ _.

По эпюрам М и М₂ определяем.

По эпюре М) находим.

Подставляя найденные реакции в систему (9.11), после сокращения на Е] получим.

Решая эти уравнения, найдем Z = 0,183; Z₂ = -0,081.

Далее по формуле.

вычислим ординаты М во всех узлах и построим окончательную эпюру моментов (рис. 9.21, ё).

Из этой эпюры очевидно, что в узлах имеется равновесие, так как сумма моментов в примыкающих к узлу стержнях равна нулю.

Пример 2. Рассмотрим второй пример расчета рамы, имеющей всего два неизвестных угла поворота заделок (рис. 9.22, а). Расчет связан со значительными трудностями, вызванными перемещением опоры 5 на величину X по горизонтали. Основ;

Рис. 922.

ная система показана на рис. 9.22, б. Число неизвестных равно двум — это Zj и Z2, которые представляют собой углы поворота узлов 1 и 2. Линейных смещений рама не содержит, в чем легко убедиться, поставив во все узлы шарниры и рассмотрев возможные перемещения узлов шарнирной системы. Узел 2 прикреплен к земле двумя стержнями 2—4 и 2—5, поэтому он является неподвижным. Теперь очевидно, что узел 1 также не может свободно перемещаться, так как он прикреплен к земле элементом 1—3 и к неподвижному узлу стержнем 1—2. Эпюры М и М₂ показаны на рис. 9.22, виг. По ним находим.

Построим теперь эпюру моментов от перемещения опоры 5 по горизонтали на величину X. Легко заметить, что при таком смещении все стержни рамы получат относительные смещения концов и поэтому будут изгибаться. Вся рама будет деформироваться, как показано на рис. 9.22, е.

Для построения эпюры в основной системе МJ необходимо знать величины относительных смещений концов каждого из стержней. Для этой цели нужно построить диаграмму перемещений. Она показана па рис. 9.22, д. В полюсе О будут находиться точки 3 и 4, так как узлы рамы 3 и 4 соединены с землей и нс перемещаются. Смещение узла 5 известно и равно X. Он переместился по горизонтали в точку 5' на величину X; отложив на диаграмме перемещений вправо отрезок X, получим точку 5'.

Для отыскания точки 2' проводим две линии: одну из точки 5' перпендикулярно стержню 5—3, а другую — из точки 4' по направлению, перпендикулярному к стержню 4—2. На пересечении этих двух линий и будет лежать точка 2'. Аналогично найдем точку Г. По этой диаграмме легко определить величины А^ — взаимные смещения всех стержней. Так, например, относительное смещение узлов 2 и 5 стержня 2—5 будет равно Д25 = Х/л[2. Точно так же найдем смещения для остальных стержней:

Теперь легко построить эпюру М^. Пользуясь табл. 9.1, находим значения моментов от единичного смещения концов, которые необходимо умножить на АХ.

Концевые моменты для всех стержней будут следующие:

По этим данным строится эпюра М? в основной системе (рис. 9.22, ж). Окончательная эпюра в заданной раме показана на рис. 9.22, з.