Кратные интегралы. 
Кратные интегралы

Доказать равенство

.

если S — прямоугольник: .

Доказательство

Поскольку область интегрирования прямоугольник двойной интеграл можно записать в виде.

.

Поскольку внутренний интеграл берется при, может быть вынесен из-под знака внутреннего интеграла и тогда получим то что требовалось доказать, т. е. .

Показать, что формула интегрального исчисления

выражающая площадь криволинейной трапеции S, ограниченной осью Х, ординатами и кривой, является следствием очевидного равенства.

.

Решение

.

Установить, что формула

есть произвольная функция непрерывная в треугольнике, ограниченном прямыми .

Решение

На рисунке изображена область интегрирования (1, 2, 3) для случая .

Из рисунка видно, что при изменении порядка интегрирования в обоих случаях у внешних интегралов области интегрирования не меняются (от до b). У внутренних интегралов: для подынтегральной функции область интегрирования от до х, а для подынтегральной функции область интегрирования от y до b, что и следовало доказать.

Доказать теорему о среднем для двойного интеграла

Теорема: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то в области S существует, по крайней мере, одна точка, в которой значение функции.

.

Доказательство

Если функция непрерывна в замкнутой области S, то этой области существуют величины m и M, являющиеся соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции, то есть или.

.

Следовательно, существует некоторое среднее значение функции .

Отсюда следует, что среднее значение функции определится из выражения, откуда .