Исследовать функцию и построить её график

y =.

Решение.

1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента x, кроме точки х=1, то есть, D (y):

• 2. Функция имеет разрыв при х=1, следовательно, х=1 — вертикальная асимптота.
• 3. При исследовании на четность, нечетность найдем y (-x).

Следовательно, функция не является нечетной либо четной. Функция также не периодическая.

• 4. Находим интервалы возрастания, убывания и экстремум функции, для этого:
  • а) найдем производную функции

б) Приравняем производную к нулю, решим уравнение и найдем критические точки I рода.

— критические точки.

в) Критическими точками и точкой разрыва, x=1, разобьем область определения на интервалы и определим знак производной в каждом из интервалов.

Рассматривая знаки производной по интервалам, получаем, что при первая производная положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

При первая производная отрицательна, значит, функция убывает.

г) Вычисляем значение функции в точках экстремума:

• 5. Находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
• а) найдем производную второго порядка.

• б) вторая производная имеет разрыв в точке х=1.
• в) определим знак второй производной в каждом интервале

Расставляя знаки второй производной по интервалам, получаем, что в интервале, график функции выпуклый, в интервале график функции вогнутый.

6. Выясним наличие наклонных асимптот у графика данной функции.

Уравнение асимптоты ищем в виде.

y=k x+b, где; .

Следовательно, — наклонная асимптота.

Строим график функции Задание 5.