Определение вероятности событий

Задача

вероятность исход событие случайный В урне содержится 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

• а) ровно 3 белых шара,
• б) меньше, чем 3 белых шара,
• в) хотя бы 1 белый шар.

Решение:

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать m=5 шаров из N=11 (т.к. 5+6=11), то есть — числу сочетаний из N=11 элементов по m=5:

(формула числа N сочетаний по m элементам).

А) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, А — «Среди m=5 шаров — k=3 шара белые». Отобрать k=3 белых шаров из n=6 таких шаров в урне всего, можно способами.

Аm-k = 5−3=2 шара черные, их можно выбрать из h=5 шаров черных в урне способами.

По теореме умножения вероятностей: число благоприятствующих исходов равно.

Искомая вероятность Р (А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Б) Событие В — «Меньше, чем 3 белых шара» означает, что вытащили из урны: 1) один белый шар, либо 2) два белых шара, либо 3) ни одного белого шара (т.е. все вытащенные шары черного цвета) из 5 шаров.

Число благоприятных исходов в 1-ом случае:

Число благоприятных исходов в 2-ом случае:

Число благоприятных исходов во 3-ем случае:

По теореме о сложении вероятностей:

Искомая вероятность Р (В) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

В) Событие С — «Хотя бы 1 белый шар» означает, что вытащили из урны: один белый шар, либо два белых шара, либо три белых шара, либо четыре, либо пять белых шаров из 5.

Данное событие тесно связано с противоположным ему событием — «ни одного белого шара не вытащили из урны» .

Найдем его: число благоприятных исходов: =1 (из пункта б); вероятность данного события:

По теореме о вероятности противоположных событий:

• а) 4 329;
• б) 0,3918;
• в) 0,9978