Асимптотические решения некоторых задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

В настоящее время много внимания уделяется новому направлению в исследовании нелинейных явлений, которое называют неравновесной термодинамикой [13, 55], синергетикой [бз], теорией самоорганизации [31], теорией автоволн [в]. Это — «область научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур в сложных неравновесных системах различной природы /физических, химических, биологических, экологических и др./» [з?]. Явления самоорганизации весьма разнообразны. К ним относят: образование диссипатив-ных структур — состояний системы, обладающих пространственной и временной упорядоченностью, в организации которой принимают активное участие диссипативные процессы /теплопроводность, диффузия и т. п./ [4−6, 14, 18−20, 39, 47, 52, 69 ] - возникновение уединённых фронтов /волны горения [1б], волны популяций Ц41−4з] / - возникновение импульсов /в нервных волокнах ¡-4б] и автокаталитических реакциях [31]/ и др. /Обширную библиографию по данному вопросу можно найти, например, в работах [9, 13, 36, 8, 40] ./ Тем не менее, многие явления описываются теорией самоорганизации в рамках единых моделей, которые математически выражаются нелинейными кинетическими уравнениями параболического типа [зб]. Наприъг = Кди + Г (и).

Д/ где ?/=^?//>?4,.^) — вектор кинетических переменных /концетрации реагирующих веществ, температуры, биомасса, число организмов данного вида в единице объёма и т. п./, К — матрица коэффициентов диффузии /в общем случае К может зависеть от Ы — нелинейная диффузия/, Пи) — нелинейная вектор-функция, учитывающая взаимодействие.

Скалярное уравнение типа /I/, описывающее распространение волнового фронта в нелинейной среде, впервые рассматривалось в 1937 году в классической работе А. Н. Колмогорова, И. Г .Петровского, Е. С. Писку нова /КПП/ [23] при анализе следующей биологической проблемы. Пусть некоторая большая территория занята определённым биологическим видом с определённой концентрацией И, близкой к единице. Вдоль границы рассматриваемой территории будет находиться область промежуточных значений концентрации, а за пределами этой области можно считать и близкой к нулю. В результате положительности отбора территория, уже занятая видом, будет увеличиваться, т. е. её граница будет перемещаться в сторону не занятых видом областей. Математически задача описывается уравнением иь =ихк + Г (и)9, /2/ где функция V (и) удовлетворяет условиям:

Г (0)=Г (1)-0, Г (и)еС[0,1], Т (и) >0, ;

Ищется решение уравнения /2/, удовлетворяющее начальным услови.

О, х>0 .

В работе КППпоказано, что при больших временах распространение данной биологической популяции имеет вид бегущей волны и (, распространяющейся с постоянной скоростью V .

Дальнейшие исследования волновых решений уравнения /2/ были связаны с задачами горения. В Ш8 году Я. Б. Зельдовичем было показано, что при определённых условиях подобными уравнениями где • описывается распространение пламени [17].

В семидесятых годах интерес к волновым решениям нелинейных параболических уравнений резко вырос. Полученные в работе КПП результаты были обобщены на более широкий класс уравнений вида /2/. В качестве примера здесь можно привести работы Аронсона и Вайнбергера [бв], Хаделера и Роте [бз], Файфа и Маклеода [б1], Ларсона [бв]. Подробным обзор волновых решений параболических уравнений приведён в работе А. И. Вольперта [э].

Одной из актуальных задач, возникающих при изучении нелинейных параболических уравнений, является задача исследования возможности образования диссипативных структур в материальных системах различной природы, моделируемых с помощью уравнений типа /I/. Понятие «диссипативная структура» /ДС/ впервые возникло в биофизике и используется для теоретического исследования самоорганизации в различных термодинамически неравновесных системах [52]. Серьёзное изучение диссипативных структур началось с работы Тюринга [б9], ныне ставшей классической. Зародившись в биологии, теория ДС нашла широкое применение в физике /ДС в плазме [19, 20], ДС при фазовом переходе полупроводник-металл [47], ДС при фазовом переходе в химически активной среде, инициированном лазерным излучением [й] и т. п./, в экологии [4, 9] и других областях естествознания. Математически задача сводится к изучению устойчивых стационарных или автоколебательных решений уравнений, моделирующих поведение системы. Этому вопросу посвящено большое количество работ, появившихся во второй половине семидесятых годов, например [29, 38, 39, 59, 60, 6?].

В общем случае исследование математических моделей синергетики представляет значительные сложности. И здесь достаточно эффективными методами могут оказаться методы малого параметра, позволяющие проводить анализ в окрестности некоторого критического значения входящего в уравнение параметра, характеризующего свойства среды. Подобное исследование модельной задачи теории самоорганизации, описываемой скалярным нелинейным параболическим уравнением с числовым параметром, было проведено А.М.Тер-Крико-ровым и А. А. Белолипецким [1, 2]. В их работе изучалось уравнение.

4 = ¿-/м + 7и + Ф (и)) /з/ где X в [0,71] 16 (^ф) /интервал может быть бесконечным/, Ф (и)=11с*и* с$н*0).

Для уравнения /3/ ставилась первая краевая задача.

Ы (0,-Ь) = Ы (% Ь) =0. /4/.

Исследовались асимптотические свойства решений задачи /3/-/4/ в зависимости от параметра, А вблизи его бифуркационного значения 7 «где — некоторое собственное значение линеаризованной стационарной задачи:

Очевидно, задача /3/-/4/ всегда имеет тривиальное решение и=0 /положение равновесия/. Это самая простая структура, связанная с процессом, описываемом данной задачей. Исследовались условия, при которых в окрестности 1 задача имеет нетривиальные стационарные решения /стационарные структуры/. Показано, что вопрос о том, будут ли сколь угодно малые начальные возмущения тривиального решения приводить асимптотически при Ь ~> + 00 к нетривиальным стационарным решениям, тесно связан с возможностью построения для задачи /3/-/4/ семейства решений, определённых на всём временном интервале Ъ €.(- 00, +00) и ограниченных. В работе А.М.Тер-Крикорова и А. А. Белолипецкого построено такое семейство решений, названное авторами «фундаментальным». Показано, что при выполнении некоторых условий решения смешанных задач ведут себя при ~Ь + 00 так же, как фундаментальные.

В абстрактной форме подобная задача была впервые поставлена В. А. Треногиным [51]. В вещественном банаховом пространстве рассматривалось уравнение + Ли =)и+ Т (и), /5/ где и&Е, А — замкнутый линейный оператор с плотной в С областью определения ад-, пи) — нелинейный оператор в и, такой что Более общая постановка задачи оправдана тем, что в виде уравнения /5/ могут быть записаны многие задачи синергетики, исследующие качественные переходы в материальных системах различной природы [54]. В связи с этим является актуальным исследование возможности построения стационарных решений и решений, осуществляющих переход между двумя стационарными решениями, для абстрактных нелинейных параболических уравнений типа /5/.

Рассмотрим достаточно общую математическую модель, пригодную для описания многих процессов, например, в химической или биологической кинетике, которая приводится в книге [40]. Для простоты пространство считается одномерным, т. е. объём, в котором происходят химические реакции, взаимодействуют живые клетки и т. п. представляет собой длинную узкую фубку. Вдоль трубки осуществляются процессы переноса, а в любом её поперечном сечении происходит полное внутреннее перемешивание. Кинетические уравнения с учётом взаимодействия компонентов и диффузии могут быть записаны в виде следующей нелинейной параболической системы, которую часто называют системой уравнений типа «реакции-диффузии» :

Здесь вектор кинетических переменных- - симметрическая положительно определённая матрица коэффициентов диффузии — нелинейная вектор-функция, определящая сумарные скорости изменения кинетических переменных за счёт их взаимодействия. Будем предполагать, что компоненты вектора аналитические функции т переменных •<�•? в точке и1) иг).11/п,)-0, т. е. в некоторой окрестности этой точки пре-дставимы абсолютно и равномерно сходящимися рядами вида где <=>т) — мультииндекс, ?= 1 №. Предположим также, что/#,^><9, а ^^-(1,0) = /)^' ^ } где У) — вещественный параметр, характеризующий свойства среды, ¿-усимвол Кронекера. Функции^у (^) С^М) (= предполагаются достаточно гладкими по? на [О, С].

В работе[52]указывается на то, что математическая модель процесса самоорганизации должна иметь решение, достаточно устойчивое и не чувствительное в широких пределах к начальным и граничным условиям. /Так, например, в биологии результат самоорганизации, т. е. конечная форма сложного организма, предопределён генетически, информация о ней заложена в самом организме./ Поэтому, для упрощения выкладок, граничные условия будем задавать в виде:, , ^.

Нас будут интересовать решения системы /6/, удовлетворяющие краевым условиям /8/, определённые на всём временном интервале и ограниченные. Т. е., следуя терминологии А.М.Тер-Крикорова и А, А. Белолипецкого, будем исследовать возможности построения фундаментального семейства решений поставленной задачи.

Обозначим (0}б) у /?>/Лбанаховы пространства вектор-функций и^, компоненты которых принадлежат пространствам Нт (Нм соответственно. Очевидно, это гильбертовы пространства со скалярными произведениями:. т г т о о.

НЬрмы в этих пространствах введём следующим образом:

Задача /б/,/8/ может быть записана в виде дифференциального уравнения /5/ в банаховом пространстве. Здесь оператор Д, ойределяемый на гладких функциях, удовлетворяющих краевым условиям /8/, дифференциальным выражением ~^ ^х]) есть замкнутый самосопряжённый оператор в с плотной областью определения.

Ъ (А)={иеС№)/ АиеСШ)}-Н1тШН*я (оА.

Нелинейный оператор ^(и), рассматриваемый на плотном в множестве Нт, является аналитическим оператором в точке и~0 «т.е. в некоторой окрестности этой точки он представим абсолютно и равномерно сходящимся степенным рядом со.

Г (и)=2- К и К.

К—2. п * /Т0) к т (г)пк т (т)пк где гк и = (г к Ы? 'к У > Гк и) — /Г-линейные ограниченные операторы в Нт (0^), действующие по формулам: ^.

Тк ^-'^/.и дис’дц* ъс* 1 •.

Строгое обоснование утверждений, сделанных относительно операторов.

А я Пи) будет произведено в последней главе работы.

Абстрагируясь от системы уравнений типа «реакции-диффузии» /6/, мы проведём в настоящей работе исследование уравнения тиха /5/ в общем случае, когда? — произвольное вещественное банахово пространство, А — произвольный зажнутый линейный оператор с плотной в Ь областью определения ^ГД). Целью работы является выявление достаточных условий существования ограниченных на всей числовой прямой решений уравнения /5/, осуществляющих переход между двумя его стационарными решениями, и построение их асимптотики в зависимости от параметра /) вблизи его критического значения }, где — некоторое собственное значение оператора, А. По предположению, })0 таково, что линейный оператор Ь~ /~hoI является оператором Фредгольма, у которого.

Ояевидно, при любом значении параметра /) уравнение /5/ имеет тривиальное решение. Нас будут интересовать условия, при которых задача имеет малые по) решения в окрестности точки.

Ш)=(0Л). т. е. непрерывно зависящие от / решения, такие что и о. Для исследования решений указанного типа применяется следующая методика.

Уравнение /5/ сводится к следующему уравнению с малым параметр ом при производной:

— fc+b'? = E.?Z+F (ii)) /iQ/ где ?=//)-/)"/, ?e=signttaelT'te, -Цоператор Фредгольма, у которого dim /I/(?>)~ duv/1/(b)~П Уравнение /10/ исследуется с помощью методов теории полугрупп операторов и аппарата теории ветвления по следующей схеме:

— используя методы теории ветвления исследуется возможность построения малых нетривиальных стационарных решений уравнения /10/ и строится их асимптотика в виде рядов по целым шш дробным степеням параметра? ;

— используя результаты исследования стационарной задачи, строятся формальные решения уравнения /10/, осуществляющие переход между двумя его стационарными решениями ;

— обоснование существования решений типа «перехода» сводится к исследованию системы уравнений, записанной для остатков построенных формальных рядов — доказывается существование решений последней системы в специально введённых банаховых пространствах, при этом используются методы теории полугрупп операторов.

Коротко остановимся на содержании работы.

Во вспомогательном параграфе приводится строгая математическая постановка задачи и вводятся некоторые необходимые сведения из теории полугрупп операторов и теории ветвления.

Первая глава посвящена исследованию одномерного случая ветвления, когда cLun №)=n*J. Исследование малых решений уравнения /10/ проводилось по приведённой выше схеме. Следует заметить, что метод, предложенный для построения асимптотики решения, подобен тому, который использовался Хоппенстедтом [бб]при рассмотрении задачи Коши для подобного уравнения в банаховом пространстве. Основным результатом данной главы является теорема существования малых по 7) решений уравнения /5/ - стационарных и типа «перехода» ., Аналогичные результаты при других предположениях были получены А.М.Тер-Крикоровым и А. А. Белолипецким з].

Вторая глава работы посвящена исследованию многомерного случая ветвления, когда. Здесь ситуация существенно усложняется. Так, например, первый член разложения в решении задачи /10/ определяется из нелинейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, исследование которой, в общем случае, представляет значительные трудности. Поэтому на первом шаге мы постулируем наличие у указанной автономной системы решения типа «перехода». Однако, в отличии от одномерного случая, одного наличия решения типа «перехода» у определяющей главный член разложения нелинейной системы оказывается не достаточно для построения решений уравнения /10/ интересующего нас класса. Основным результатом главы II является теорема, в которой сформулированы достаточные условия существования малых по ¿-Г решений уравнения /10/, осуществляющих переход между двумя его стационарными решениями. Имеется пример, иллюстрирующий доказанную теорему существования. Построение асимптотики решения производится тем же методом, что и в одномерном случае.

В третьей главе мы вновь обратимся к приведённой выше системе уравнений типа «реакции-диффузии» /6/ и применим к её исследованию полученные в абстрактном виде результаты. Продемонстрируем возможность построения решений типа" перехода" на упрощённой модели — когда матрица коэффициентов диффузии диагональ-на и её элементы не зависят от X. Такое упрощение оправдано тем, что матрица коэффициентов диффузии в диссипативных системах может быть диагонализирована и при этом её собственные элементы вещественны и положительны [40]. Критическим значением параметра? в данном случае является =, где Аминимальное собственное значение матрицы коэффициентов диффузии, кратность которого равна П (А П4=- .в частности, если П-1 то в достаточно малой окрестности точки система /6/,/8/, помимо тривиального, имеет единственное малое стационарное решение и соответствующее ему семейство решений типа «перехода» и (И)=Ш" ' ОМ здесь ~Ь0 — произвольная постоянная/.

В заключении сделаны краткие выводы по результатам работы.

В приложениях приведены таблицы, иллюстрирующие результаты исследования одномерного случая ветвления.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [32−34].

Еезультаты диссертации докладывались на семинаре профессора В. А. Треногина в Московском институте стали и сплавов, на Всесоюзной школе-семинаре «Методы малого параметра и их применение», посвященной 75-летию академика А. Н. Тихонова /Минск, 1982 г./, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных, посвящённой 75-летию академика С. Л. Соболева /Новосибирск, 1983 г./, на семинаре профессора Е. А. Гребенникова в лаборатории дифференциальных уравнений НИИ ВЦ МГУ, на семинаре профессора А.М.Тер-Крикорова в ВЦ АН СССР, на научно-исследовательском семинаре профессора В. Е. Масленниковой, профессора В. И. Буренкова и доцента М. Ф. Сухинина на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа Университета дружбы народов имени Патриса Лумумбы.

Автор глубоко благодарен профессору В. А. Треногину за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Шдведём итоги проведённого в работе исследования.

1. Получены достаточные условия существования решений типа «перехода» у нелинейного параболического уравнения в банаховом пространстве с числовым параметром и с неограниченным линейным оператором, сужение которого на некоторое подпространство является производящим оператором экспоненциально убывающей аналитической полугруппы.

2. Построена асимптотика решений указанного уравнения в окрестности критического значения параметра /собственного значения линеаризованной стационарной задачи/.

3. Проанализированы ситуации, когда подпространство нулей соответствующего линейного оператора одномерно /одномерный случай ветвления/ и многомерно /многомерный случай ветвления/. Результаты исследования одномерного случая ветвления являются обобщением на абстрактное параболическое уравнение соответствующих результатов А.М.Тер-Крикорова и А. А. Белолипецкого, полученных для скалярного уравнения теплопроводности [I, 2]. Многомерный случай ветвления исследовался в данной работе впервые.

4. Используя результаты, полученные для абстрактного уравнения, исследована возможность построения решений типа «перехода» у нелинейной параболической системы с числовым параметром типа «реакции-диффузии», являющейся модельной для ряда задач теории самоорганизации. Построена асимптотика решений вблизи критического значения параметра, в одномерном и двумерном случае ветвления.

5. Полученные в работе результаты могут быть использованы в прикладных задачах, исследующих качественные переходы в различных материальных системах, которые математически описываются нелинейными параболическими уравнениями с числовым параметром.