Элементы алгебры и геометрии

Контрольная работа

«Элементы алгебры и геометрии»

Вариант 9

Задание № 19

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.

Найдем определитель матрицы А:

?(А) = =

= 2 • 1 •6 + (-3) (-2) •3 + 1 • 1 • (-2) — 1 • 1 • 3 — (-3) • 1 • 6 — 2 (-2) • (-2) =

= 12 + 18 — 2 — 3 + 18 — 8 = 48 — 13 = 35

?(А) = 35

Найдём ?₁, ?₂, ?₃

?₁ = =

= 3 • 1 • 6 + (-3) (-2) • 0 + 1 • 4 •(-2) — 0 •1 • 1 — 4 • (-3) • 6 — 3 (-2) (-2) =

= 18 + 0 — 8 — 0 + 72 — 12 = 90 — 20 = 70

?₂ (А) = =

= 2 • 4 • 6 + 3 • (-2) • 3 + 1 • 1 • 0 — 3 • 4 • 1 — 1 • 3 • 6 — 2 • 0 • (-2) =

= 48 — 18 + 0 — 12 -18 — 0 = 0

?₃ = =

= 2 • 1 • 0 + (-3) 4 • 3 + 3 • 1 •(-2) — 3 •1 • 3 — 1 • (-3) • 0 — 2 • (-2) 4 =

= 0 — 36 — 6 — 9 + 0 + 16 = - 20 — 15 = - 35

Найдем корни:

Ответ: 2; 0; -1

Задание № 40

Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить её, если она совместна.

Запишем матрицу, А и найдем ранг матрицы А:

Поменяем местами первую и вторую строки:

Первую строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую, первую умножим на 5 и вычтем из неё третью:

Вычтем из второй строки — третью:

Ранг матрицы

Запишем расширенную матрицу

Найдем определитель расширенной матрицы. Поменяем местами первую и вторую строки:

Умножим первую строку на 3 и вычтем из неё вторую, умножим первую строку на 5 и вычтем из неё третью:

Вычтем из второй строки третью:

Ранг расширенной матрицы

Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, значит система несовместна (не имеет решений).

Задание № 54

Даны координаты точек, А (х₁;у₁) и В (х₂;у₂) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат.

Требуется:

1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки, А и В;

2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;

3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;

4) построить эллипс и окружность.

Решение:

1. Общий вид канонического уравнения эллипса:

Подставим координаты точек, А и В в общее уравнение:

Подставляем найденные переменные в общее уравнение эллипса:

2. Полуоси:

3. Точки пересечения данного эллипса с окружностью R=8, найдем решив систему уравнений:

Получили четыре точки пересечения эллипса с окружностью:

4.

Задание № 69

Дано: вершины пирамиды АВСD

1. Записать векторы в системе орт и найти их модули:

А (3; 3; -3); В (7; 7; -5); С (5; 14; -13); D (3; 5; -2).

= (7 — 3; 7 — 3; -5 + 3) = (4; 4; -2)$

;

= = 6;

= (5 — 3; 14 — 3; -13 + 3) = (2; 11; -10);

= 2i + 11j — 10k;

= 15;

= (3 — 3; 5 — 3; -2 + 3) = (0; 2; 1);

= =

2. Найти угол между векторами и :

3. Найти проекцию вектора на вектор :

Найти площадь грани АВС:

=

;

Найти объем пирамиды ABCD:

= =

Задание № 93

Даны координаты точек А, В, С, М:

А (5; 4; 1); В (-1; -2; -2); С (3; -2; 2); М (-5; 5; 4).

1.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С:

= 0;

= 0;

(x — 5)(- 6 — 18) — (y — 4)(- 6 — 6) + (z — 1)(36 — 12) = 0;

— 24(x — 5) + 12(y — 4) + 24(z — 1) = 0;

— 2(x — 5) + (y — 4) + 2(z — 1) = 0;

— 2x + 10 + y — 4 + 2z — 2 = 0;

— 2x + y + 2z + 4 = 0 — уравнение плоскости Q.

2.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q:

Подставим координаты точки М (-5; 5; 4) и коэффициенты общего уравнения плоскости Q (-2; 1; 2) в каноническое уравнение прямой:

3.Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, уОz, xOz: пусть Где t — некоторый параметр, тогда уравнения прямой можно записать так:

Подставим данные выражения в уравнение плоскости Q и найдем параметр t:

Подставим значение параметра t в уравнения и найдем координаты точки пересечения:

Итак, координаты точки P, точки пересечения полученной во втором пункте прямой и плоскости Q: Р.

Р₁ — точка пересечения прямой с с хОу: z = 0;

P₁ (2,6; 1,2; 0).

P₂ — точка пересечения прямой с уОz: x = 0;

P₂ (0; 1,6; 2,8).

Р₃ — точка пересечения прямой с xOz: y = 0;

;

P₃ (0,5; 0; 1,5).

Найти расстояние от точки М до плоскости Q:

т.к. прямая МР перпендикулярна плоскости Q, точка Р принадлежит плоскости Q, то расстояние между точками М и Р и будет расстоянием от точки М до плоскости Q.

Производная и дифференциал

Задание № 114

Найти пределы:

Разложим на множители и числитель и знаменатель:

Задание № 135

Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х.

1. Найти точки разрыва функции, если они существуют.

Данная функция определена и непрерывна в интервалах (При и меняется аналитическое выражение функции и только в этих точках функция может иметь разрывы.

Определим односторонние пределы в

Т.к. односторонние пределы в не совпадают, значит разрыв I рода.

Определим односторонние пределы в точке:

Т.к. односторонние пределы в точке совпадают, значит функция в точке непрерывна.

2. Найти скачок функции в точке разрыва:

точка разрыва

Задание № 198

Найти приближенное значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.

или

Задание № 156

Найти производные пользуясь формулами дифференцирования:

Задание № 240

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления.

Начертить график.

План исследования:

1.найти область существования функции;

2.исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и её односторонние пределы в этих точках;

3. исследовать на четность, нечетность;

4. найти точки экстремума, интервалы возрастания, убывания функции;

5. найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости;

6.асимптоты, если они есть;

7. построить график.

Задание № 272

Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды с заданной боковой поверхностью. Каковы должны быть размеры палатки (сторона, а и высота h) чтобы вместимость палатки была наибольшей.

Решение:

Вместимость палатки — это объем палатки. Объем правильной пирамиды находится по формуле где, а — сторона квадрата (основание пирамиды), h — высота пирамиды.

Выразим высоту пирамиды через сторону квадрата: