Неравенства. 
Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов

Задача: Доказать, что если а и b — действительные числа, удовлетворяющие условию a + b? c, то справедливы неравенства:

a² + b² = c²/2, a⁴ + b⁴ = c⁴/8, a⁸ + b⁸ = c⁸/128.

Доказательство:

Введем элементарные симметрические многочлены.

у₁ = a+b, у₂ = ab.

Мы имеем:

S₂ = a² + b² = у₁² — 2у₂ = у₁² — 2*ј (у₁² -z) = Ѕ у₁² + Ѕz.

Так как z? 0, а по условию задачи у₁ ? c, то S₂ = Ѕc², т. е.

a² + b² = Ѕc².

Применяя к полученному неравенству то же рассуждение, находим:

a⁴ + b⁴ = Ѕ(Ѕc²)²=?с ⁴.

Аналогично находим, что.

a⁸ + b⁸ ? с ⁸/128.

Применяя метод математической индукции, можно таким путем доказать, что если a + b? c и n- произвольное натуральное число, то.

a²ⁿ + b²ⁿ ? (½^2n-1)*c²ⁿ.

Задача 2: Доказать, что для любых положительных чисел x, y, z справедливо неравенство у₁у₂ ? 9у_3.

Доказательство: Так как числа x, y, z положительны, то у₁>0, у₂>0, у₃>0. Поэтому неравенства.

у₁² ? 3у₂, у₂² ? 3у₁у₃,

можно перемножить.

Мы получили.

у₁²у₂² ? 9у₁у₂у₃.

Сокращая на положительную величину у₁у_2, мы и получаем требуемое неравенство у₁у₂ ? 9у_3. Равенство у₁у₂ = 9у_3, достигается лишь в том случае, если x=y=z.

Доказательство тождеств

Задача: Доказать тождество.

(x+y+z)(xy+xz+yz) — xyz = (x+y)(x+z)(y+z).

Доказательство:

Левая часть тождества есть не что иное, как у₁у₂ — у₃.

Раскроем скобки в правой части тождества. Мы получаем:

(x+y)(x+z)(y+z)= x²y + x²z + y²x + xz² + y²z + yz² + 2xyz= O (x²y) + 2у₃=

=(у₁у₂-3у₃) + 2у₃ = у₁у₂ — у₃.

Итак, тождество доказано.