Корреляционный анализ. 
Основы экономико-математического моделирования

Корреляционный анализ — совокупность основанных на математической теории корреляции методов обнаружения корреляционной зависимости между двумя случайными признаками или факторами. Корреляционый анализ экспериментальных данных заключает в себе следующие основные практические приёмы:

• 1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы;
• 2) вычисление выборочных коэффициентов корреляции или корреляционного отношения;
• 3) проверка статистической гипотезы значимости связи.

Дальнейшее исследование заключается в установлении конкретного вида зависимости между величинами. Зависимость между тремя и большим числом случайных признаков или факторов изучается методами многомерного корреляционного анализа. (вычисление частных и множественных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений).

Корреляционное поле и корреляционная таблица являются вспомогательными средствами при анализе выборочных данных. При нанесении на координатную плоскость выборочных точек получают корреляционное поле. По характеру расположения точек поля можно составить предварительное мнение о форме зависимости случайных величин (например, о том, что одна величина в среднем возрастает или убывает при возрастании другой). Для численной обработки результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке корреляционной таблицы приводятся численности гц; тех пар(х, у), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной.

Предполагая длины интервалов группировки (по каждому из переменных) равными между собой, выбирают центры x_i (соответственноy_j) этих интервалов и числа n_ij в качестве основы для расчётов.

Коэффициент корреляции дает более точную информацию о характере и силе связи, чем картина корреляционного поля.

Коэффициент корреляции — это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до — В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной — минус Корреляция считается сильной, если ее коэффициент выше 0,60; если же он превышает 0,90, то корреляция считается очень сильной.

Коэффициент корреляции Браве-Пирсона ® — это параметрический показатель, для вычисления которого сравнивают средние и стандартные отклонения результатов двух измерений. При этом используют формулу (у разных авторов она может выглядеть по-разному).

(17).

где УX*Y — сумма произведений данных из каждой пары;

n-число пар;

• — средняя для данных переменной X;
• — средняя для данных переменной Y

S_x — стандартное отклонение для распределения х;

S_y — стандартное отклонение для распределения у

Коэффициент корреляции рангов Спирмена (r_s) — это непараметрический показатель, с помощью которого пытаются выявить связь между рангами соответственных величин в двух рядах измерений.

Этот коэффициент рассчитывать проще, однако результаты получаются менее точными, чем при использовании r. Это связано с тем, что при вычислении коэффициента Спирмена используют порядок следования данных, а не их количественные характеристики и интервалы между классами. Дело в том, что при использовании коэффициента корреляции рангов Спирмена (r_s) проверяют только, будет ли ранжирование данных для какой-либо выборки таким же, как и в ряду других данных для этой выборки, попарно связанных с первыми. Если коэффициент близок к +1, то это означает, что оба ряда практически совпадают, а если этот коэффициент близок к -1, можно говорить о полной обратной зависимости.

Коэффициент r_s вычисляют по формуле.

(18).

где d — разность между рангами сопряженных значений признаков (независимо от ее знака), а — число пар.

Обычно этот непараметрический тест используется в тех случаях, когда нужно сделать какие-то выводы не столько об интервалах между данными, сколько об их рангах, а также тогда, когда кривые распределения слишком асимметричны и не позволяют использовать такие параметрические критерии, как коэффициент r (в этих случаях бывает необходимо превратить количественные данные в порядковые).