Оптимальный фильтр Винера

САУ, обеспечивающие минимальное значение средней квадратической ошибки, называют также оптимальным фильтром. Впервые задача синтеза оптимального фильтра была решена в 1949 г. английским ученым Н. Винером. Он предложил алгоритм для определения оптимальной весовой функции системы iv_onT(t), при которой обеспечивается минимальное значение средней квадратической ошибки z^_{K min}.

В предыдущем параграфе был рассмотрен вопрос нахождения оптимальной передаточной функции путем определения оптимального W_30nT(jco), т. е. задача решалась в частотной области. Н. Винер предложил решать задачу во временной области. Им получено интегральное уравнение, которое определяет оптимальную весовую функцию системы, обеспечивающую минимальное значение среднеквадратической ошибки. Данное уравнение имеет вид.

где R_g(T -А) — корреляционная функция входного сигнала g (t), действующего на САУ; R_ynpg(t) — взаимная корреляционная функция между желаемым выходным и входным сигналами.

Ниже приводится вывод этого уравнения [14]. Если известна весовая функция САУ w (t), то сигнал на выходе системы y (f) можно вычислить на основании интеграла свертки.

где g (t — т) = x (t — т) +/(t — т) — аддитивная смесь задающего (полезный сигнал) и возмущающего (помеха) воздействий.

Будем считать желаемым сигналом y_np(f) — выходной сигнал САУ при идеальном преобразовании задающего сигнала, тогда значение квадрата ошибки.

Для стационарного эргодического сигнала средняя квадратическая ошибка может быть определена на основании выражения

Учитывая соотношения (1.32), (1.33), получим.

Нетрудно видеть, что первое слагаемое в выражении (1.34).

— среднее значение квадрата желаемого выходного сигнала.

Второе слагаемое в выражении (1.34) является взаимно корреляционной функцией между выходным и входным сигналами:

Третье слагаемое в выражении (1.34) представляет собой корреляционную функцию входного сигнала:

С учетом введенных обозначений (1.34) принимает вид

Это выражение устанавливает связь между средней квадратической ошибкой, параметрами САУ и входными воздействиями.

Для определения оптимальной весовой функции w_onT(f) обозначим.

где ц — переменный параметр; /c (t) — произвольная, физически реализуемая весовая функция.

Если подставить (1.36) в (1.35), то среднее значение квадрата ошибки окажется функцией параметра ц. Поэтому для нахождения минимального значения z?_K необходимо найти производную от z%_K (t) по переменной ц и приравнять ее к нулю. Тогда оптимальная весовая функция w_onT(t), обеспечивающая минимальное значение средней квадратической ошибки z^_{K min}, как следует из (1.36), будет только при ц = 0:

Так как корреляционная функция является четной, то справедливо следующее соотношение:

С учетом этого и, полагая ц = 0, из (1.37) получим.

Вследствие того что fc (A) ^ 0 за исключением конечного числа значений т, последнее выражение справедливо при выполнении следующего условия:

что и требовалось получить.

Решение уравнения (1.38) в общем виде во временной области затруднительно. Поэтому часто его решают в частотной области. Для этого случая Н. Винером была предложена общая формула для нахождения физически реализуемой оптимальной системы (оптимального фильтра):

где S_ynpg(jco) = S_ynpA.(jco) + S_ynpj (j (o) — взаимная спектральная плотность предписанного желаемого выходного сигнала и суммарного входного сигнала g (t);

При отсутствии корреляции между управляющим и возмущающим воздействиями следует учитывать, что.

На практике часто возмущающее воздействие можно представить в виде белого шума со спектральной плотностью.

а спектральная плотность задающего воздействия S_x(co) описывается дробно-рациональной функцией. В этом случае оптимальное выражение комплексного коэффициента усиления (оптимального фильтра) определяется соотношением [2].

В заключение этого параграфа следует отметить особенности применения винеровской теории фильтрации:

• — фильтры Винера дают наилучшие точностные результаты в установившихся режимах;
• — теория фильтров Винера разработана только для стационарных процессов;
• — использование теории фильтрации Винера для многомерных систем приводит к сложным вычислительным трудностям.