Исследование функций и построение графиков

Признак монотонности функции

Теорема 10.7. Если функцияfix) дифференцируема и/' (х) > 0 (/' (х) < 0) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале. Доказательство. Пусть для определенности /'(*)? 0. Возьмем две произвольные точки х, и х₂ на интервале (а, А), причем х, < х₂. Тогда на отрезке (х, х₂] для функции f{x) выполнены все условия теоремы Лагранжа, в силу которой имеем:

По условию теоремы/© > 0 и, кроме того, х₂ — х, > 0; значит,/(х₂) >/(х,) при х₂ > х, т. е. функция /(х) не убывает на интервале (а, />), что и требовалось доказать. Случай /' (х)? 0 доказывается аналогично. ?

Признак строгой монотонности функции при/(х) > 0 (/(х) < 0) доказывается таким же образом.

Точки локального экстремума

Определение 1. Точка х₀ называется точкой локального максимума (минимума]) функции f{x), если для любого х Ф х₀ в некоторой окрестности точки х₀ выполнено неравенство /(х₀) > fix) (/(х₀) < fix)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

Теорема 10.8 (необходимое условие локального экстремума). Если функция fix) дифференцируема в точке х₀ и имеет в этой точке локальный экстремум, то f’iXf) = 0.

Доказательство. По определению локального экстремума существует такой интервал (х₀ - б, х₀ + б), в котором значение функции/(х₀) является наибольшим или наименьшим. Но тогда в силу теоремы Ферма производная функции в этой точке равна нулю, т. е./'(*₀) = 0, что и требовалось доказать. ?

Геометрический смысл теоремы 10.8 виден на рис. 10.5: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Ох, а значит производная равна нулю, называют точками возможного экстремума или стационарными точками). Если х₀ — точка возможного экстремума, т. е./'(х₀) = 0, то она может и не быть точкой локального экстремума. Например, для функции /(х) = х³ производная при х — 0 равна нулю, однако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 10.8 не является достаточным условием существования локального экстремума.

Теорема 10.9 (достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция /(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. Если при переходе через точку х₀ слева направо производная/'(х) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке х₀ функция /(х) имеет локальный максимум (минимум). Если же /'(х) не меняет знака в б-окрестности точки х₀, то данная функция не имеет локального экстремума в точке х₀. Доказательство. Пусть /(х) при переходе через точку Хд меняет знак с «+* на «-* в интервале (х₀ — 5, х₀ + б). Возьмем произвольную точку х € (х₀ — б, х₀), х ф х₀; на отрезке [х, х₀] выполнены условия теоремы Лагранжа, и следовательно,.

Так как/'(*) > 0 при х е (х₀ — 5, х₀) и х₀ > х, из этого равенства получаем:

Рис. 10.5.

Применяя теорему Лагранжа к функции/(х) на отрезке [х₀, *1, когда хе (х₀, х₀ + 6), получаем:

Поскольку справа от точки х₀ выполнены неравенства /'(х) < 0 и х₀ < х, из этого равенства следует

Из неравенств (10.20) и (10.21) вытекает, что в 6-окрестности точки х₀ выполняется условие локального максимума.

Случай локального минимума (перемены знака/'(*) с «-» на «+») доказывается аналогично.

Если же/'(*) нс меняет знак при переходе через точку .v₀, то по теореме 10.7 она является монотонной на интервале (х₀ — 6, х₀ + 8) и, значит, нс имеет локального экстремума в точке х₀. Доказательство теоремы завершено. ?

Рассмотрим применение доказанных теорем на примере.

Пример 7. Найти точки локальных экстремумов и промежутки монотонности для функции /(х) = х³ — 7,5л:² + 18*.

Сначала находим производную /'(х) - Зх² — 15л: + 18. Приравняв ее нулю и решая уравнение х² — 5х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: х, = 2 и х₂ = 3. Нетрудно видеть, что/'(х) при переходе через точку х, = 2 меняет знак с «+* на «-», т. е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке х₂ = 3 функция /(х) имеет локальный минимум. Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис. 10.6). Поскольку /'(*) > 0 при х е (—(c)о, 2), то в силу теоремы 10.7 функция монотонно возрастает на этом интервале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания/(х) (/'(х) 0).

Рис. 10.6.