Транспонирование матриц. 
Операции с матрицами

Определение. Матрицу А^Т называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы, А записать в том же порядке в столбцы матрицы А^Т.(т.е. строки матрицы, А заменены на столбцы и наоборот).

А = ;А^Т=;

Пример: Даны матрицы, А =, В =, С = и число = 2. Найти А^ТВ+С.

A^T = ;A^TB = = = ;

C =; А^ТВ+С = + = .

Пример: Даны матрицы, А = и В =. Найти произведение матриц АВ и ВА.

АВ = = .

ВА = = (21 + 44 + 13) = (2 + 16 + 3) = (21).

Пример: Найти произведение матриц А=, В =.

АВ = = = .

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

• 1) умножение строки на число, отличное от нуля;
• 2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;
• 3) перестановка строк;
• 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
• 5) транспонирование

Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице, если.

.

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Рассмотрим на примере, как найти обратную матрицу .

Пусть.

1)Найти определитель матрицы.

.

Так как, то обратная матрица существует.

2) Сформировать матрицу из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы.

3) Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений.

.

4) Обратная матрица определяется формулой.

.

.

Укажем следующие свойства обратных матриц

• 1. (A^-1)^-1 = A;
• 2. (AB)^-1 = B^-1A^-1
• 3. (A^T)^-1 = (A^-1)^T.