Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Пусть одна и та же плоскость задана двумя уравнениями:

— общее уравнение,.

— нормальное уравнение.

Поскольку оба уравнения задают одну плоскость, их коэффициенты пропорциональны:

.

Первые три равенства возведем в квадрат и сложим:

.

Отсюда найдем — нормирующий множитель:

. (10).

Умножив общее уравнение плоскости на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости:

.

Примеры задач на тему «Плоскость»

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (2,1,-1) и параллельной плоскости .

Решение. Нормаль к плоскости:. Поскольку плоскости параллельны, то нормаль является и нормалью к искомой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (3), получим для плоскости уравнение:

Ответ:

Пример 2. Основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, является точка. Найти уравнение плоскости .

Решение. Вектор является нормалью к плоскости. Точка М₀ принадлежит плоскости. Можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через заданную точку (3):

Ответ:

Пример 3. Построить плоскость, проходящую через точки и перпендикулярную плоскости: .

Следовательно, чтобы некоторая точка М (x, y, z) принадлежала плоскости, необходимо, чтобы три вектора были компланарны:

=0.

Осталось раскрыть определитель и привести полученное выражение к виду общего уравнения (1).

Пример 4. Плоскость задана общим уравнением:

.

Найти отклонение точки от заданной плоскости.

Решение. Приведем уравнение плоскости к нормальному виду.

.

.

Подставим в полученное нормальное уравнение координаты точки М*.

.

Ответ: .

Пример 5. Пересекает ли плоскость отрезок .

Решение. Чтобы отрезок АВ пересекал плоскость, отклонения и от плоскости должны иметь разные знаки:

.

Пример 6. Пересечение трех плоскостей в одной точке.

.

Система имеет единственное решение, следовательно, три плоскости имеют одну общую точку.

Пример 7. Нахождение биссектрис двугранного угла, образованного двумя заданными плоскостями.

Пусть и — отклонение некоторой точки от первой и второй плоскостей.

На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны по модулю и знаку, а на другой — равны по модулю и противоположны по знаку.

1).

это уравнение первой биссектральной плоскости.

2).

это уравнение второй биссектральной плоскости.

Пример 8. Определение местоположения двух данных точек и относительно двугранных углов, образованных данными плоскостями.

Пусть. Определить: в одном, в смежных или в вертикальных углах находятся точки и .

• 1) Находим и, и — это отклонения точек А и В от плоскостей и .
• а). Если и лежат по одну сторону от и от, то они лежат в одном двугранном углу.
• б). Если и лежат по одну сторону от и по разные от, то они лежат в смежных углах.
• в). Если и лежат по разные стороны от и, то они лежат в вертикальных углах.

Линии в пространстве. Прямая в пространстве 53.

Канонические уравнения прямой в пространстве 54.

Параметрические уравнения прямой 56.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 56.

Угол между двумя прямыми в пространстве 57.

Угол между прямой и плоскостью 57.

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости 58.

Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей 59.

Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия» 65.