Вычисление пределов. 
Вычисление пределов

Задание 1

асимптота экстремум абсцисса Вычислить предел.

Решение:

Так как при получим неопределенность вида. Для нахождения предела применим первый замечательный предел и его следствия.

Поэтому получаем.

Применяем правило Лопиталя:

Снова применяем правило Лопиталя:

Таким образом,.

Задание 2.

Найти асимптоты функции.

Решение:

Так как в точках функция имеет разрыв, то прямые есть вертикальные асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты вида.

.

где ,.

Получаем.

.

Получили частный вид наклонной асимптоты — горизонтальную асимптоту.

Задание 3

Определить глобальные экстремумы при х[3,4].

Решение:

Глобальные экстремумы могут находиться либо в точках локальных экстремумов либо на концах промежутков. Поэтому найдем локальные экстремумы и если они принадлежат промежутку, то вычислим в них значение функции.

Находим первую производную и приравниваем ее к нулю:

.

Точка — подозрительная на экстремум. Но так как она не принадлежит указанному в условии задач промежутку, то находим значения функции только на концах промежутка.

.

Таким образом, глобальный минимум. Глобальный максимум ;

Задание 4.

Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции.

Решение:

Найдем первую производную и приравняем ее к нулю:

.

Подозрительные на экстремум точки:

Рассмотрим поведение производной:

Таким образом, график функции на участке монотонно убывает. На участке — монотонно возрастает. Так как в точках производная меняет знак с минус на плюс, то эти точки — точки локального минимума. Так как в точке производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка — точка локального максимума.

Построим эскиз графика.

Задание 5.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

Решение:

Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:

Получили подозрительную на перегиб точку: .

Рассмотрим поведение второй производной:

На участке вторая производная отрицательная, значит график функции выпукл вверх. На участке вторая производная положительная, значит график функции выпукл вниз Таким образом, точка — точка перегиба.

Задание 6.

Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции.

Решение:

а) В точке функция терпит разрыв, значит, областью определения функции является. Прямая — вертикальная асимптота.

б),. Таким образом, областью значения является вся числовая ось ординат.

в) Пересечение с осями координат: если, то. То есть с осями координат график функции не пересекается.

• г) Проверим четность, нечетность. Так как, то функция нечетная.
• д) Найдем асимптоты. — вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты ищем в виде.

.

где, .

Получаем.

.

Таким образом, наклонная асимптота имеет вид.

е) Найдем участки монотонности и точки экстремумов. Определим первую производную и приравняем ее к нулю:

Критические точки:. Рассмотрим поведение первой производной:

Таким образом, на участке график функции монотонно возрастает. На участке — монотонно убывает. Точка — локальный максимум. Точка — локальный минимум.

ж) Найдем участки выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:

Точек перегиба нет Рассмотрим поведение второй производной:

Таким образом, на участке график функции выпукл вверх. На участке — выпукл вниз.

з) Построим график функции.

Задание 7.

Найти локальные экстремумы функции.

Решение:

Для нахождения локального экстремума решим систему уравнений:

Получаем Отсюда получаем единственную стационарную точку .

Для определения характера этой точки рассмотрим, где.

,.

Итак,, , и тогда. Так как и, то точка — точка минимума.

Задание 8.

Определить экстремумы функции, если, х>0, у>0.

Решение:

Для нахождения экстремумов в заданной области мы находим локальные экстремумы и наибольшие и наименьшие значения на границах области.

Рассмотрим систему уравнений.

Отсюда.

Получили бесконечное количество точек, которые не соответствует условию задачи. Поэтому из рассмотрения этот ряд точек исключаем.

Теперь рассмотрим границу нашей области:. Выразим отсюда. Подставляя это в функцию получаем функцию одной переменной:

Найдем локальные экстремумы для этой функции:

.

По условию задачи, поэтому рассмотрим только точку .

Тогда из уравнения находим что .

По условию задачи, поэтому точка нас удовлетворяет.

Получили точку, значение функции в которой равно .

Таким образом, наибольшее значение функция достигает в точке А, где. Наименьшего значения нет.

Задание 9.

Найти неопределенный интеграл Решение:

Выделим полный квадрат в знаменателе.

Так как табличный интеграл.

.

где, то.

Применим метод интегрирования по частям.

Пусть, тогда Тогда.

Задание 10.

Вычислить.

Решение:

Пусть теперь. И если раньше переменная х менялась от 0 до 1, то теперь переменная t меняется тоже от 0 до 1. Получаем.

Задание 11.

Определить объем тела вращения вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривыми Решение:

Изобразим на координатной плоскости фигуру:

Так как объем тела вращения плоской фигуры находится по формуле.

Тогда.