Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия Е_кин твердого тела складывается из кинетических энергий элементарных масс, составляющих тело.

(27.1).

где v_i— скорость элементарной массы .

Скорость каждой i-ой точки слагается из скорости v_п поступательного движения тела и линейной скорости v_вр= r_i за счет его вращательного движения. Таким образом,.

v_i= v_п + v_вр = v_п + r_i, (27.2).

где — угловая скорость вращательного движения твердого тела;

r_i — радиус-вектор, проведенный из полюса в точку, где находится масса m_i.

Возведя в квадрат выражение (27.2), подставим значение v_i² в (27.1). Напомним, что A² = A². Получим, что в общем случае кинетическая энергия Е_кин твердого тела равна:

. (27.3).

Для двух частных случаев это выражение существенно упрощается.

Первый случай.

Выберем за полюс точку О, жестко связанную с телом, и скорость которой равна нулю. Это означает, что v_п = 0, а ось вращения Z проходит через точку О.

Тогда кинетическую энергию тела будет представлять только второе слагаемое — кинетическая энергия тела при чистом вращении. Эта энергия равна.

В этом выражении R_i — расстояние от массы m_i до оси вращения Z. Ось вращения Z проходит через нашу выбранную точку О, и сумма равна моменту инерции тела I_z относительно оси Z.

Второй случай.

Примем за поступательное движение тела движение центра инерции со скоростью v_c.

Пусть вращение тела происходит таким образом, что ось вращения Z, проходящая через центр инерции, движется поступательно, а начало отсчета совпадает с центром инерции. Тогда момент инерции тела относительно оси Z будет постоянным.

В этом случае первое слагаемое в выражении (27.3):

— кинетическая энергия тела за счет поступательного движения. В этом выражении: — масса тела, v_c — модуль скорости центра инерции.

Второе слагаемое в выражении (27.3):

кинетическая энергия тела за счет вращательного движения вокруг оси Z. В этом выражении I_z — момент инерции тела относительно оси Z, проходящей через центр инерции и являющейся осью вращения.

Рассмотрим третье слагаемое в выражении (27.3).

Сумма, иногда называемая «смешанной» кинетической энергией, в нашем случае равна нулю по следующим причинам.

Поскольку являются для всех точек тела одинаковыми, эти величины можно вынести за знак суммы.

Сумма, где R_C — радиус-вектор центра инерции. Так как центр инерции совпадает с началом отсчета, то и «смешанная» кинетическая энергия также станет равной нулю.

Следовательно, при указанных условиях, и в частности, плоском движении кинетическую энергию тела Е_кин можно вычислить по следующему выражению.

где (27.5).

M— масса тела;

v_c — скорость центра инерции;

— угловая скорость вращения тела;

I_z — момент инерции тела относительно оси Z, проходящей через центр инерции тела и совпадающей по направлению с вектором .

Этим выражением пользуются, когда движение тела представляют как сумму поступательного и вращательного движений. При этом за полюс мы не можем выбирать произвольную точку. Полюсом в данном случае может являться только центр масс.