Отображения (функции). Отношения и отображения в теории множеств

Функции играют центральную роль в математике, где они используются для описания любых процессов, при которых элементы одного множества каким-то образом переходят в элементы другого. Такие преобразования элементов — фундаментальная идея, имеющая первостепенное значение для всех вычислительных процессов.

Определение. Отношение f на AB называется отображением (функцией) из A в B, если для каждого xA существует один и только один yB. множество бинарный отношение эквивалентность.

f: AB или y=f (x).

Множество A называется областью определения. Множество B — областью значений.

Если y=f (x), то x называют аргументом, а y — значением функции.

Пусть f: AB, тогда.

множество определения функции:

;

множество значений функции:

.

Множество определения функции является подмножеством области определения, т. е. Dom f A, а множество значений функции является подмножеством области значений функции, т. е. Im f B. Если, то функция называется тотальной, а если частичной функцией. Так диаграмма Венна служит удобной иллюстрацией функции, определенной на множестве A со значениями в множестве B.

Способы задания функции:

• 1) Словесный.
• 2) Аналитический.
• 3) С помощью графика, рисунка.
• 4) С помощью таблиц.

Определение. Если MA, то множество f (M)=y f (x)=y для некоторого x из M называется образом множества M.

Если KB, то множество f ^-1(K)=x f (x)K называется прообразом множества K.

Свойства отображений (функций).

1) Отображение f: AB называется инъективным, если оно различные элементы из A отображает в различные элементы из B: .

Это свойство можно показать с помощью диаграмм Венна.

2) Отображение f: AB называется сюръективным или отображением на все мно-жество B, если в каждый элемент множества B отображается хотя бы один элемент из A: .

Это свойство тоже можно показать с помощью диаграмм Венна.

3) Отображение f: AB, которое одновременно инъективно и сюръективно, называется биективным или взаимно однозначным отображением множества A на множество B.

Пример. Пусть дано отображение f: RR, которое определено таким образом, что. Выяснить, какими свойствами обладает это отображение.

Решение. Функция f не является инъективной, т.к. f (2)=f (2), но 2 2.

Функция f не является также и сюръективной, поскольку не существует такого действительного числа x, для которого f (x)= 1.

Определение. Пусть f биективное отображение множества A в множество B. Если поставить в соответствие каждому элементу из B связанный с ним элемент из A, то такое соответствие является отображением B в A. Это отображение обозначается и называется отображением, обратным отображению f.

Обратное отображение обладает некоторыми свойствами, которые сформулируем в следующей теореме.

Теорема 3. Если f: AB — биекция, то.

1) для любого y из B;

2) для любого x из A.

Доказательство. 1) Пусть yB и. Тогда f (x)=y. Но поскольку.

то .

2) Аналогично доказывается, что для любого x из A.

Определение. Композицией (суперпозицией, произведением) отображений f: AB и g: BC называется отображение h:, которое записывается h=g f.

Такой способ записи суперпозиции функций объясняется тем, что обозначение функции принято писать слева от списка аргументов:

.