Крутильные колебания. 
Курс общей физики

Твердое тело, подвешенное на упругой нити (или стержне), верхний конец которой закреплен неподвижно, и совершающее вращательное движение вокруг вертикальной оси, называется крутильным маятником (рис. 9.4). Колебания такого маятника обусловлены упругими силами, возникающими в нити при ее закручивании. Вращательный момент М, с которым эти силы действуют на тело, пропорционален углу поворота 0 тела из положения равновесия:

Рис. 9.1.

Крутильный маятник

где с — крутильная жесткость нити.

Функцию 0 = 0(<), которая описывает движение крутильного маятника, найдем из основной) уравнения вращательного движения.

где I — момент инерции тела относительно вертикальной оси г, проходящей через его центр масс. Подставим выражение (9.22) в уравнение (9.23) и преобразуем последнее к виду.

Таким образом, вновь пришли к дифференциальному уравнению гармонических колебаний, в котором коэффициент перед функцией 0 есть квадрат частоты:

Период крутильных колебаний равен.

Затухающие колебания

Пусть тело, изображенное на рис. 9.2, движется в вязкой среде. Тогда на него, кроме силы упругости, будет действовать еще и сила сопротивления среды, которая по величине пропорциональна скорости и направлена в противоположную ей сторону:

Здесь коэффициент пропорциональности г называется коэффициентом сопротивления среды, или коэффициентом трения.

В таком случае второй закон Ньютона будет иметь вид.

Используя обозначения.

запишем уравнение (9.26) следующим образом:

Общее решение уравнения (9.28) имеет вид где частота колебаний

а и а — постоянные величины. Формула (9.30) имеет смысл при условии, что.

Функция (9.29) описывает так называемые затухающие колебания. Убедиться в том, что она является общим решением дифференциального уравнения (9.28), можно следующим образом. Нужно найти производные этой функции и подставить их вместе с функцией в уравнение (9.28). Если при этом уравнение превращается в тождество, то функция (9.29) в самом деле есть общее решение уравнения (9.28), так как оно содержит в себе две произвольные постоянные, а и а.

Функция называется амплитудой затухающих колебаний. Это есть монотонно убывающая функция, скорость убывания которой характеризуется коэффициентом затухания 0. Величина.

называется временем релаксации. За это время амплитуда уменьшается в е раз:

График функции (9.29) изображен на рис. 9.6. Верхняя пунктирная кривая представляет собой график зависимости амплитуды (9.32) от времени.

Рис. 9.6. Затухающие колебания Период затухающих колебаний.

зависит от коэффициента затухания 0. Чем больше коэффициент затухания, тем больше период колебаний. При 0 = и₀ период колебаний становится бесконечно большим. Иначе говоря, колебания прекращаются.

Декрементом затухания колебаний называют отношение.

а его логарифм.

называют логарифмическим декрементом затухания. За время г система совершает число колебаний.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

общее решение дифференциального уравнения (9.28) будет линейной комбинацией двух экспонент:

Таким образом, логарифмический декремент затухания, А есть величина обратная числу колебаний N_T, совершаемых за время релаксации г. При условии.

где С и Ci — постоянные величины,.

Движение, описываемое такой функцией, называется апериодическим. Ее графики, соответствующие различным начальным условиям, приведены на рис. 9.7.

Рис. 9.7. Апериодическое движение Кривая 1 на рис. 9.7 соответствует начальным условиям:

которые означают, что тело начинает свое движение в момент времени t = 0 из положения равновесия со скоростью v₀. Затем оно отклоняется на некоторое расстояние и возвращается в положение равновесия, не.

В этом случае тело начинает двигаться при t = 0 из положения, определяемого значением координаты х_0у в направлении к положению равновесия со скоростью v_a проходит через это положение, не останавливаясь, а затем возвращается в положение равновесия с противоположной стороны.

Исследуем систему, в которой происходят затухающие колебания, при помощи закона сохранения энергии. С этой целью умножим уравнение (9.26) на х и преобразуем его к виду.

или Правая часть этого уравнения есть мощность силы трения, которая всегда отрицательна. Поэтому полная энергия Е маятника убывает со временем. На этом основании можно утверждать, что причиной затухания колебаний являются потери энергии при трении.