Свойство составного распределения Пуассона

ТЕОРЕМА. Пусть S₁, S_2, ,…, S_n — независимые СВ, каждая из которых имеет составное распределение Пуассона S_i с параметрами л _i и F_i(x), тогда сумма S=S₁ +S_2, +…+ S_n — СВ с составным распределением Пуассона с параметрами:

.

Доказать: M_S(t) = - ?

Доказательство:

S_i=Y₁ ⁱ +Y₂ ⁱ +…+ Y_Viⁱ. .

M_S(t) = E (e ^St) = E (e ^(S₁ ^{+ … + S}_n^{) t})= E (e ^S₁^t…e ^S_n ^t)=.

= ((S₁, S_2, ,…, S_n — независимые СВ)) = E (e ^S₁^t) …E (e ^S_n ^t)=.

=.

Покажем, что — производящая функция моментов.

F (x) =.

— производная функция моментов F (x).

Нахождение составного пуассоновского распределения при условии, что величина реально предъявляемого иска принимает неотрицательные целые значения

S=У₁ + … + У_V;

У₁, У_2, ,…, У_i — независимые одинаково распределенные СВ с функцией распределения F (x), принимающие целые положительные значения.

VСВ с распределением Пуассона с параметрами и F (x).

=> S — дискретная СВ;

P (S=n) = P_n, n=0,1,2…

ТЕОРЕМА:

n=1,2…

ПРИМЕР:

S=У₁ + … + У_V; =33.

и т.д.

.

Составное отрицательное биномиальное распределение

Пусть S — СВ; S=У₁ + … + У_V;

У₁, У_2, ,…, У_i — независимые одинаково распределенные СВ с функцией распределения F (x);

СВ V, У₁, У_2, ,…, У_i — независимы,.

VСВ с отрицательным биномиальным распределением с параметрами и ;

тогда S имеет составное (сложное) отрицательное биномиальное распределение с параметрами, и F (x).

Характеристики распределения.

M_S (t) = m_V(M_Y(t)), т.к. m_V(z) =.

Если У_i — СВ, принимающая натуральные значения, то существует: m_Yi (z) = E (z^Yi), S — СВ, принимающая неотрицательные целые значения =>

m_S (z) = m_V(m_Y(z)) = ;

ES=EV*EY=*EY, т.к. EV=.

Var S = Var V (EY)² + Var Y; EV =*(EY)² + * Var Y;

.

S имеет положительную асимметрию, если коэффициент > 0.