Свойства функций, дающих однолистные конформные отображения единичного круга на области специального вида
Даёт однолистное конформное отображение круга — z — < 1 на звездообразную область. С другой стороны, установленные границы достигаются, как мы видели, функцией ^ — 2)2 ' дающе" отображение круга — z — < 1 на звездообразную область. Поэтому эти границы будут наилучшими и для рассматриваемого теперь класса функций. Всё, что было установлено в § 1, п. 4, 5, 6 относительно произвольных однолистных… Читать ещё >
Свойства функций, дающих однолистные конформные отображения единичного круга на области специального вида (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Звездообразные и выпуклые функции.
Всё, что было установлено в § 1, п. 4, 5, 6 относительно произвольных однолистных функций, и подавно будет справедливо для частного случая, когда функция семейства (S):
даёт однолистное конформное отображение круга | z | < 1 на звездообразную область. С другой стороны, установленные границы достигаются, как мы видели, функцией ^ — 2)2 ' дающе" отображение круга | z | < 1 на звездообразную область. Поэтому эти границы будут наилучшими и для рассматриваемого теперь класса функций.
Полагая теперь / (z) = zF1 (z) и замечая, что.
мы заключаем:
Так как положительный знак левой части характеризует звездообразность отображения с помощью функции /(z), а положительный знак правой частивыпуклость отображения с помощью функции F (z), то отсюда заключаем, что круг |*| <1 посредством /(z) отображается на звездообразную область только в том случае, если этот круг посредством F (z) отображается на выпуклую область, причём f (z) и F (z) связаны соотношением:
Отсюда найдём немедленно точные границы теоремы искажения для выпуклых функций (К). Таким образом, в силу п. 6 получаем:
или
Границы для модуля выпуклой функции получим, аналогично п. 6, посредством интегрирования неравенства (22):
Найденные границы (22) и (23) являются наилучшими для выпуклых функций F{z). Действительно, они достигаются функцией w =, которая даёт выпуклое отображение круга |*|<1. Она отображает круг |г|<1 на полуплоскость Rxv > —-J* Из лево* части неравенства (23) при г -*? 1 найдём, что граница выпуклого отображения круга | г < 1 отстоит от начала координат на расстоянии, по крайней мере равномg-. Последняя константа является точной, так как она достигается функцией w = j-—.