Обработка данных опроса с помощью метода наименьших квадратов

Теперь перейдем к обработке данных опроса с помощью метода наименьших квадратов. Для начала необходимо составить таблицу исходных данных — пар чисел (p, D(p)) также в порядке возрастания значений параметра p. При расчетах удобно использовать программу Microsoft Excel.

На основе приведенных в п.П.3.1 данных рассчитаем прогностическую функцию и оптимальную цену при различных уровнях издержек.

Таблица 2.

Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

i	Цена pi	Ni	pi Ni	Спрос D(pi).	D(pi)Ni	Pi2Ni	D(pi)piNi	D*(pi).	Ni[D(pi) — D*(pi)].	Ni[D(pi) —D*(pi)]2
								3,231.	46,769.	2187,339.
								6,904.	84,192.	1772,073.
								10,577.	72,846.	1326,635.
								16,086.	115,66.	836,0194.
								29,382.	81,326.	134,9779.
								21,595.	62,025.	153,884.
								25,268.	59,712.	13,92 782.
								32,614.	— 117,68.	384,709.
								43,632.	— 146,53.	1341,903.
								54,650.	— 154,95.	2667,723.
						103,36.	10 819,19.
100,6.	29,16.	SS

Примечание. Здесь n = 50 — число ответов участников опроса.

Перейдем к расчету теоретической функции спроса:

D^*(p_i) = a*(p — p_ср.) + b*.

Необходимо найти оценки параметров a* и b*:

0,36 728,.

b* = 29,16; d* = b* - a*p_ср.= 29,16 — (0, 36 728)*110,6 = -11,46.

Таким образом, теоретическая функция спроса имеет вид:

D*(p) = (0,36 728)p -11,46.

Из табл.2 видно, что остаточная сумма квадратов SS = 10 819,19 (после округления). Исходя из этого, найдем оценку среднего квадратического отклонения:

Затем найдем доверительные границы для функции спроса:

D^*(p)_{верхн.нижн.} = (-0, 36 728)p -11,461,96 =.

= (-0, 36 728)p -11,46 =.

Например, при p = 100.

D^*(100) _верхн. = 36,73 + 3,869 = 40,599,.

D^*(100)_нижн. = 36,73 — 3,869 = 32,861.

Итак, при цене товара 100 руб. его купят от 33 до 41 человек.

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p₀. Для этого мы должны максимизировать прибыль:

(p — p_0.) D^*(p) = (p_. — p_0.)(a*p + d*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную:

.

2a*p_опт. — а*р₀ +d* = 0,.

p_опт. = .

Поскольку a* = 0,36 728, a d* = -11,46, то.

p_опт. = .

Как видно из последней формулы, при возрастании издержек оптимальная розничная цена также возрастает, но вдвое медленнее.

Сравним (табл.3) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (p_опт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (p_опт.1).

Таблица 3.

Сравнение методов расчета оптимальной цены.

Проанализируем результаты, представленные в табл. 2 и 3.

Выясним, при какой цене спрос достигает 0:

D*(p) = (0,36 728)p -11,46 = 0,.

.

Т.е. корректное приближение функции спроса линейной зависимостью может быть при цене p меньшей, чем 31,2 рублей.

Общепринятых простых методов, позволяющих избежать отрицательных оценок функции спроса, нет. Если получаем отрицательные величины, то должны указать область, в которой линейная зависимость дает корректную оценку, что и сделали выше, когда D*(p) приравняли к 0.

Рассмотрим теперь табл.3. Здесь видим разницу между расчетной оптимальной ценой p_опт.2, полученной с помощью метода наименьших квадратов, и расчетной ценой p_опт.1, найденной исходя только из данных опроса. Это связано с тем, что потребитель всегда склонен к круглым числам (например, большинство назовет 100 руб., а не 102 руб. 27 коп.). Мы же при применении метода наименьших квадратов ищем максимум не только среди названных опрощенными значений, а по более обширному множеству.