Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости

Вывод дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости основан на втором законе Ньютона.

Выделим из потока жидкости элементарный параллелепипед с ребрами, соответственно равными dx, dy и dz (рис. 8.4). Объем параллелепипеда dV = dxdydz, масса его равна рdV, где р — плотность жидкости. Скорость в данной точке движущейся среды зависит от положения рассматриваемой точки в пространстве от времени, т. е. поле скоростей описывается уравнением.

Рис. 8.4. К выводу дифференциального уравнения движения.

Чтобы вывести дифференциальные уравнения движения жидкости, используем основной закон механики:

где YjF — векторная сумма всех сил, действующих на выделенный нарал- Dw ,

леленинед; ——полная (суостанциональная) производная от скорости.

dx

В проекции на ось х уравнение (8.10) примет вид.

На рассматриваемый параллелепипед действуют три силы: сила тяжести (на рис. 8.4 не обозначена), давление р и сила вязкостного трения (на рис. 8.4 не обозначена). Ось х направлена, как это показано на рис. 8.4, вертикально вниз. Тогда проекция силы тяжести на ось х будет pgdV, где g — ускорение свободного падения.

Если в данной точке давление среды /?, то сила, действующая на верхнюю грань (см. рис. 8.4), равна pdydz, а сила, действующая на противоположную грань, равна.

Проекция на ось х равнодействующей сил давления будет.

где др/дх — проекция градиента давления на ось х.

Если пренебречь силами вязкостного трения, то согласно формуле (8.11) после сокращения на dV получим уравнение движения жидкости в проекции на ось х:

Таким же образом получаются уравнения движения жидкости в проекциях на оси у и z.

(проекции силы тяжести pgdV на оси у и z равны нулю).

Уравнения (8.12)—(8.14) являются уравнениями движения идеальной, т. е. невязкой, жидкости и носят название уравнений Эйлера.

Для получения дифференциальных уравнений движения вязкой (реальной) жидкости необходимо учесть силы внутреннего (вязкостного) трения, иначе говоря, силы, обусловленные вязкостью жидкости. Согласно закону Ньютона, касательное напряжение s, возникающее между перемещающимися с различной скоростью слоями жидкости (отношение силы трения к площади), пропорционально градиенту скорости:

где dw/dn — градиент скорости, т. е. отношение изменения скорости к расстоянию по нормали п п — нормаль к направлению перемещения жидкости; |1 — динамическая вязкость.

Рассмотрим плоский ламинарный поток вязкой жидкости, в котором скорость меняется лишь в направлении оси у. Силы вязкостного трения вызывают в потоке жидкости касательные напряжения. В ламинарном потоке силы трения возникают только на боковых гранях элемента (рис. 8.5). Поскольку около левой грани скорость движения частиц жидкости меньше, чем в самом элементе, сила трения направлена против движения и равна (-sdxdz).

Около правой грани скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому сила трения направлена в сторону движения и равна.

Рис. 8.5. Силы трения, действующие на элемент движущейся жидкости.

Равнодействующая этих сил.

Подставляя значение s из уравнения (8.15), получаем

Полученное уравнение справедливо при одномерном движении. Если скорость изменяется по трем направлениям, то проекция на ось х равнодействующей сил вязкостного трения, приложенных к рассматриваемому параллелепипеду объемом dV, определяется следующим выражением:

Если движущаяся среда имеет постоянную вязкость, получим.

где V²w_x — оператор Лапласа.

Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье — Стокса) получим из выражений (8.12)—(8.14), если прибавим к их правым частям (к сумме объемных сил) величину цУ²да. Таким образом, В развернутом виде дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости в проекции на ось х примет вид.

Аналогично записываются уравнения в проекции на оси у и z.

Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности) выводится на основе закона сохранения массы. Выделим в потоке жидкости элементарный параллелепипед объемом dV со сторонами dx, dy и dz и вычислим массовый расход жидкости через него за время dx (рис. 8.6).

Рис. 8.6. К выводу дифференциального уравнения сплошности.

Введем понятие массовой скорости, кг/(м² • с), равной произведению плотности на скорость (р?^) и определяемой отношением массового расхода pV к площади поперечного сечения/:

В направлении оси х в рассматриваемый параллелепипед за промежуток времени dx поступает жидкость массой т'_х, равной произведению массовой скорости рw_x на поперечное сечение dydz и на время dx:

Через противоположную грань параллелепипеда за время dx вытекает жидкость массой.

Изменение массы жидкости в элементарном параллелепипеде за время dx в направлении оси х составит.

Аналогично запишем изменение массы жидкости за время dx в направлении осей у и z.

Это изменение массы вызвано изменением плотности жидкости р в параллелепипеде объемом dV и равно изменению массы данного параллелепипеда во времени:

Произведя преобразования и сокращения в (8.23), окончательно получим дифференциальное уравнение сплошности:

Формулу для полного изменения массы жидкости в рассматриваемом элементарном параллелепипеде объемом dV в направлении всех трех осей за время dx получим, суммируя (8.19)—(8.21):

Для несжимаемых жидкостей р = const и (8.24) примет вид.