Структура группы на множестве

Определение 4.2. Группой называется множество G с такой бинарной операцией 0: G х G —> G, что

• 1) ® ассоциативна: а 0 (Ь 0 с) = (а 0 Ь) 0 с;
• 2) существует е е G (нейтральный элемент по отношению к операции ®): VgeG e®g-g®e-g
• 3) Va, a &G, 3b е G: а® b = Ь 0 а = е, элемент b называют обратным (iпротивоположным) элементом элементу, а относительно операции ®.

Пример 4.2. Множество Z целых чисел с операцией сложения образует аддитивную коммутативную группу, при этом нейтральным элементом служит число 0, а обратным элементом для zeZ является противоположное число -г. -z + z = 0.

Пример 4.3. Множество/е В (А, А) всех перестановок множества А образует группу. Роль единицы в этой группе играет тождественное на А отображение id: УаеА id (a) = a. Напротив, множество В_ех(А, А) всех точных перестановок /е В (А, А) множества А не образует группу, так как id сх(А, А) (ср. Теорему 3.16 и [45, (1. 4.13)]).

Упражнение 4.1. Показать, что если в определении группы постулировать существование таких левого и правого (ей е*) нейтральных элементов и левого и правого обратных (b и 6*) элементов к элементу а, что е®а-а®е*=а и b®a = a®b*=e, то е = е* и 6 = 6*.

Упражнение 4.2. Показать, что множество Л' положительных чисел с операцией ®, определяемой формулой а ® 6 = a^h, не образует группу.

Упражнение 4.3. Показать, что множество G параллельных переносов плоскости и множество ф вращений плоскости с центром в некоторой точке О образуют группу параллельных переносов и, соответственно, группу вращений.

Замкнутость групповой операции ® группы G определяется тем, что:

• 1) отображение ®:GxG—>G задано для всех пар (a, 6) sGxG и, кроме того,
• 2) это отображение есть сюръекция, так что в группе G уравнение а® х = 6 разрешимо при любых а и 6 из G.

>

Определение 4.3. Подмножество G<=G, являющееся группой с законом композиции ® группы G, называется подгруппой группы G .

Так, в группе ф поворотов плоскости множество ф_д, = {ф* ,"}, keZ,.

пт ^

где ф* _т — поворот плоскости на угол а_{к т} =—, m&Z, является под;

к

группой группы ф. Нейтральным элементом здесь является ф_А. ₀— поворот плоскости на 0 радиан, обратным элементом для ф* _т будет поворот ф*.

п (р + q)

и элемент ф* _р ® ф_м = ц>_{к р+ч} сеть поворот на угол а_{к р} + а_{к (/} =—-.

Очевидно, что всякая подгруппа G группы G содержит нейтральный элемент е группы G и Va е G 3а~' е G. Назовем три подгруппы:

• 1) <5₀=М;
• 2) G, ={а}, где а® а-е, т. е. а^-1 = а;
• 3) G, ={е, а, где а_к =а*_, ®а, ?<�", я" ®а, = е = а₀.

Группа G_n называется циклической группой, порожденной элементом а, для элементов а_р и а_ч такой группы.

Конкретной реализацией группы G, является множество {1, -1}, где е=, а=-1 и законом композиции служит умножение из множества R: (-1)®1 = 1х (-1) = -1.

Циклической группой G, является множество.

классов {т_к} эквивалентности по модулю числа п во множестве Z целых чисел, когда закон композиции ® группы Z" определяется формулой к= р® q =(р + q) = /:(mod п), p, q е Z .

При этом по определению т_к ® m_s = (к + с)(шос1н) и аддитивной единицей, нулем группы, служит класс {/и₀} = {0, п, 2п, …} (см. Пример 3.4). Очевидно, что не каждая группа G имеет циклические подгруппы.

В качестве упражнений читателю мы предлагаем проверить следующие утверждения:

• 1. Если G| и G-, являются подгруппами группы G, то подмножество G, П G₂ также является подгруппой.
• 2. Все подгруппы данной группы G пересекаются по подгруппе

G₀={e}.

Понятие подгруппы позволяет изучать свойства группы G на некоторой, не слишком малой, ее подгруппе. Но следует заметить, что если G группа, то множество G {а}, aeG, уже группой не является, если при этом а * а~¹. Подробности см. в [27], [43], [45], [57], [82] и др.