Определение токов схемы методом контурных токов

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n — 1.

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной.

Итак, в заданной цепи (рис. 1.1) можно рассмотреть три контура-ячейки (1, 2, 3) и ввести для них контурные токи I_k1, I_k2, I_k3.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры — это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:

стрелками указываем выбранные направления контурных токов I_k1, I_k2, I_k3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

E₁-E₂=I_k1· (R₁+r₀₁+ R₂+r₀₂ +R₃)-I_k2· (R₁+r₀₁)-I_k3· (R₂+r₀₂).

— E₁=I_k2· (R₁+r₀₁+R₄+ R₅)-I_k1· (R₁+ r₀₁)-I_k3· R₅

E₂=I_k3· (R₂+r₀₂+R₅+R₆)-I_k1·(R₂+r₀₂)-I_k2·R₅

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений.

• 20−30=I_k1· (54+2+43+2+32)-I_k2·(54+2)-I_k3·(43+2)
• -20=I_k2· (54+2+26+51)-I_k1·(54+2)-I_k3·51
• 30=I_k3· (43+2+51+15)-I_k1·(43+2)-I_k2·51

Или.

• -10=I_k1· 133-I_k2·56-I_k3·45
• -20=I_k2· 133-I_k1·56-I_k3·51
• 30=I_k3· 111-I_k1·45-I_k2·51
• -10=I_k1· 133-I_k2·56-I_k3·45
• -20=- I_k1· 56+I_k2·133-I_k3·51
• 30=-I_k1· 45-I_k2·51+I_k3·111

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы? и чaстные определители ?1, ?2, ?3.

Вычисляем контурные токи:

I_k1=?1/?=-0.266/7.431=-0.036 А.

I_k2=?2/?=-0.608/7.431=-0.082 А.

I_k3=?3/?=1.621/7.431= 0.218 А Тогда токи ветвей будут равны:

I₁= I_k1— I_k2=-0.036+0.082=0.046 А.

I₂= I_k3— I_k1=0.218+0.036=0.254 А.

I₃=- I_k1=0.036 А.

I₄= -I_k2=0.082 А.

I₅= I_k3 -I_k2=-0.218+0.082=0.3 А.

I₆= I_k3=0.218 А.