Условия совместности (неразрывности) деформаций

Представим себе тело, разрезанным на малые параллелепипеды. Если каждый из этих параллелепипедов получит произвольные деформации, то из деформированных параллелепипедов не удастся вновь сложить сплошное тело: во многих точках возникнут щели, пустоты. Следовательно, при деформации тела должны быть связаны определенными зависимостями. Получим их.

Из (1.1) первое дифференцируем дважды по, второе — дважды по и сложим их.

(а) Выражение в скобках по 4) из (11.1) равно. Тогда.

(в) Аналогично можно составить еще два соотношения.

(г) Эти соотношения легко записать, используя кольцевую перестановку индексов.

Для однозначности, шесть деформаций должны быть связаны шестью зависимостями.

Продифференцируем три последних уравнения (1.1) так:

Сложим два первых соотношения и вычтем третье:

Продифференцируем это уравнение еще раз по и, учитывая, что по 2) из (11.1) получим.

(д) Аналогично можно получить еще два уравнения, используя кольцевую перестановку индексов. Итак, окончательно получим шесть уравнений (в), (г) и (д), которые и называют условиями совместности (неразрывности) деформаций или уравнениями Сен-Венана.

(11.2).