Закон Ома в дифференциальной форме

В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. Получим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны. Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противоположном вектору напряженности Е. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы т (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно.

В то же время ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения v и среднее время между столкновениями т:

Здесь учтено, что, как несложно проверить, при равноускоренном движении средняя скорость равна половине максимальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения носителей заряда пропорциональна напряженности поля:

сх.

Здесь выделен коэффициент пропорциональности Я, = -— между скоро;

стью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда на много порядков меньше скорости хаотического движения, то время столкновения х определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) движения электронов м:

Здесь X — средняя длина пробега электрона. Таким образом, имеем.

При этом подвижность электрона определяется выражением.

С учетом формулы (20.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля — закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:

где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) у и удельного сопротивления р проводника: