Явные и неявные разностные схемы

При решении задач для уравнений параболического и гиперболического типов используются различные разностные схемы, среди которых важное место занимают так называемые явные и неявные разностные о-хемы.

Рассмотрим их на примере классического уравнения параболического типа — уравнения теплопроводности (нестационарного уравнения Лапласа).

со следующими начальными.

и граничными.

условиями. Решение ищется внутри полубесконечного цилиндра (рис. 4.7). Задачу (4.16)—(4.18) называют эволюционной, имея в виду построение эволюции решения во времени. Используются также названия: ЗАДАЧА КОШИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ или КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.

Построим разностную схему. Для этого проведем линии.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 4.7.

где h_xn h_y— шаги по пространственным координатам х и у соответственно ит — шаг по времени t. Плоскости k = const называют ?-слоями или слоями по времени. Сеточную функцию.

обозначим через u^h_{m п}.

Рис. 4.8.

Запишем разностную аппроксимацию уравнения (4.16) с использованием шеститочечных шаблонов двух типов, показанных на рис. 4.8. Здесь пустыми кружочками обозначены узлы на k-м слое с известными значениями функции, а зачерненными — узлы на (k + 1)-м слое, на котором параметры неизвестны и должны быть определены. Шаблон на рис. 4.8, а соответствует так называемой явной схеме, а шаблон на рис. 4.8, б — неявной схеме. В явной схеме оператор Лапласа аппроксимируется с использованием известных значений функции на k-м слое, а в неявной схеме — с использованием неизвестных значений функции на (k + 1)-м слое.

Без потерь общности будем далее полагать, что шаги по пространственным координатам одинаковы, т. е. h_x = Л_у = А. Тогда явная разностная схема, соответствующая шаблону на рис. 4.8,о, запишется следующим образом:

Из этого соотношения следует, что искомое значение определяется явным образом через известные значения на k-м слое по соотношению.

Для неявной разностной схемы, соответствующей шаблону на рис. 4.8, б, имеем.

Соотношение (4.20), записанное для всех внутренних узлов (k 4- 1)-го слоя, порождает систему линейных алгебраических уравнений, с помощью которых определяются неизвестные значения функции в узлах. Каждое уравнение этой системы содержит только пять неизвестных и*⁺Д ц* ^{+ 1}. ии*,*¹, ^um n ' ^хотя общее количество неизвестных равно числу внутренних узлов на (k + 1)-м слое и может быть весьма велико (число узлов составляет порядка N², при этом N может принимать значения от 50 до 100). Следовательно, матрица системы линейных уравнений является пятидиагональной и сильно разреженной. Для решения этой системы используются, как правило, итерационные методы, некоторые из которых были описаны.

Очевидно, что при одинаковых шагах разностной сетки число операций, необходимых для отыскания решения на (k + 1)-м слое, в явных схемах значительно меньше, чем в неявных. Однако в дальнейшем будет показано, что условие устойчивости разностной схемы накладывает значительные ограничения на величины шагов в явных схемах. Поскольку в конечном счете качество разностной схемы при одинаковой требуемой точности должно оцениваться количеством операций, необходимых для получения решения на всем временном интервале, в ряде случаев неявные разностные схемы оказываются более предпочтительными, чем явные.