Дифференциальное исчисление функции одного переменного

Введение

в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

№ 1. Вычислить предел:

При подстановке значения x = 0 получаем неопределенность вида Поэтому воспользуемся эквивалентностью при. А затем несколько раз применим правило Лопиталя.

.

При подстановке значения x = 0 получаем неопределенность вида.

Еще раз применим правило Лопиталя.

.

№ 2. Найти асимптоты функции.

.

лопиталь асимптота экстремум график Решение:

1.) Функция неопределенна в точке .

Найдем односторонние пределы функции в точке .

.

.

Поэтому — вертикальная асимптота графика функции.

2.) Найдем горизонтальные асимптоты.

Однако,.

поэтому горизонтальных асимптот нет.

3.) Найдем наклонные асимптоты. Будем искать их в виде: .

.

.

Таким образом, наклонная асимптотой является прямая .

№ 3. Определить глобальные экстремумы при.

Решение:

Область определения функции: .

Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения в ограниченной области, называют точками абсолютного (или глобального) экстремума.

Чтобы найти глобальные экстремумы нужно вычислить значения функции в критических точках, а также наибольшие и наименьшее значения на границах отрезка.

Найдем критические точки, т. е. точки, в которых .

.

при.

т.е., или .

Но, поэтому критической не является.

Решаем уравнение, находим — критическая точка.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

;

.

Сравниваем найденные значения. Таким образом,.

;

Значит, точка является точкой глобального максимума, а точка — точкой глобального минимума.

№ 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции.

.

Решение:

Исследуем функцию на монотонность.

Для этого найдем первую производную функции и точки, в которых (точки возможного экстремума).

при, т. е. при.

— критические точки.

Критические точки разрывают числовую прямую на интервалы:, ,, .

Таким образом, при функция возрастает,.

а при функция убывает.

При переходе через точку сменяет свой знак с «+» на «—», поэтому она является точкой максимума. А при переходе через точку, сменяет свой знак с «—» на «+», поэтому — точка минимума.

Построим схематически график.

№ 5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

Решение:

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба найдем вторую производную функции и точки, в которых.

.

.

при , — критическая точка.

Построим вспомогательную таблицу.

При, , график функции выпуклый вверх, а при, ,.

график функции выпуклый вниз.

При переходе через вторая производная меняет свой знак с «—» на «+», поэтому является точкой перегиба.

Дифференциальное исчисление функций и его приложение.

№ 1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции.

Решение:

1. Область определения .

• 2. Т.к., и, то функция ни четной, ни нечетной не является. Поэтому график не симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
• 3. Так как, то — точка пересечения с ОY.

при , — точка пересечения с осью Ox.

Единственной точкой пересечения с осями координат является точка (0; -1).

• 4. Найдем асимптоты графика функции.
• а) точек разрыва нет, поэтому вертикальных асимптот нет;
• б) найдем горизонтальную асимптоту графика функции,

Так как.

т. е. горизонтальных асимптот нет.

в) найдем наклонную асимптоту графика функции, будем искать ее в виде.

.

наклонных асимптот нет.

5. Найдем промежутки возрастания, убывания функции, точки экстремума.

.

при, т. е. при ,.

. — критические точки.

При функция возрастает, а при функция убывает.

При переходе через точку меняет свой знак с «+» на «—», поэтому она является точкой максимума.

При переходе через точку меняет свой знак с «—» на «+», поэтому она является точкой минимума.

6. Найдем промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.

.

при ,.

— критическая точка.

Построим вспомогательную таблицу.

При график выпуклый вверх, а при график выпуклый вниз.

7. Сделаем чертеж.

№ 2. Найти локальные экстремумы функции.

Решение:

Вычислим частные производные первого передка данной функции:

.

Находим точки возможного экстремума (критические точки):

Отсюда находим:

Итак, — критические точки.

Исследуем знак приращения в окрестностях найденных точек. Для этого вычислим частные производные второго порядка функции в этих точках.

Для :

.

Т.к. и, то точка является точкой строгого минимума.

Для :

.

Т.к., то точка точкой экстремума не является.

Для :

.

Т.к., то точка точкой экстремума не является.

Для :

.

Т.к., то точка точкой экстремума не является.

Итак, точка является точкой строгого минимума.

№ 3. Определить экстремумы функции, если .

Решение:

Из уравнения связи находим. Подставив его в уравнение получаем:

Получим функцию одной переменной .

Находим точки локальных экстремумов:

.

при, т. е. при .

.

Получаем точку .

Нетрудно увидеть, что в точке функция достигает наименьшего значения.

Таким образом, .

Интегральные исчисления функции одного переменного.

№ 1—3. Найти неопределенный интеграл.

1) .

Решение:

1.).

где С — const;

2.) .

Решение:

где С — const;

3. .

Решение:

где С — const.

№ 4. Вычислить.

.

Решение:

№ 5. Определить длину кривой, описываемой графиком функции, .

Решение:

Сделаем чертеж.

Воспользуемся формулой:

где .

.

.

Тогда.