Расчет частоты дискретизации

Частота дискретизации является одной из основных характеристик АЦП. Частоту дискретизации f_д можно определить двумя способами:

1) При проведении дискретизации сигнала очень широко используется теорема В. А. Котельникова: любая непрерывная функция х (t) с ограниченным (0f_в) спектром частот полностью определяется своими дискретными значениями, отсчитанными через интервалы времени Дt=1/(2f_в), т. е. при частоте отсчётов (дискретизации по времени) f_д?1/Дt=2f_в[6]. Здесь предполагается аппроксимация измеряемой величины суммой гармонических сигналов с верхней частотой f_в.

Частота дискретизации определяется исходя из f_в, где f_в — верхняя частота ограниченного спектра входного сигнала.

Энергетически значимой в технике считается часть спектра, содержащая 95% всей энергии спектра, или 95% площади, перекрываемой спектром. По геометрическому построению спектра сигнала, данного в техническом задании, можно определить f_в=137 кГц.

Для осуществления независимости результатов преобразования от неидеальности аппаратуры, вводится коэффициент запаса. Выбираем К_з=1,82.

f_д>К_з•2•f_в

При преобразовании сигнала предполагается выпрямление его схемой двухполупериодного преобразователя средневыпрямленных значений. Это требует увеличить частоту дискретизации в 2 раза, так как спектр становится шире в 2 раза после прохождения сигналом подобной схемы.

Учитывая всё выше сказанное, получаем частоту дискретизации:

;

Возьмем частоту дискретизации КГц.

Тогда время цикла дискретизации будет равно:

.

2) Непосредственное применение теоремы В. А. Котельникова к задачам измерительной техники рационально только при периодически изменяющихся измеряемых величинах с известной верхней частотой f_в спектра. В общем же случае измеряемая величина имеет неограниченный спектр частот, и по теореме В. А. Котельникова требуется бесконечно большая частота дискретизации для точного дискретного воспроизведения непрерывной величины X (t). В связи с этим, если ориентировочно известен характер изменения измеряемой величины, целесообразнее использовать кусочно-линейную аппроксимацию функции X (t)[6]. В этом случае, если входная функция X (t) определена, известна, непрерывна, то абсолютное значение аппроксимации [6]:

.

Отсюда можно найти частоту дискретизации, при которой (допустимая погрешность аппроксимации) не будет превышать заранее заданного значения. При известном максимальном ускорении измеряемой величины необходимая частота дискретизации по времени будет определяться следующим образом[6]:

.

Максимальное значение i-й производной стационарной случайной функции X (t) можно характеризовать неравенством С. Н. Бернштейна, которое справедливо для функций, ограниченных по модулю и имеющих спектральную плотность с верхней частотой w_в=2рf_в[6]:

.

Поэтому выражение для частоты дискретизации можно переписать так:

.

Погрешность аппроксимации представляет собой ничто иное, как погрешность квантования, которую определяют из следующего выражения:

.

Тогда можно найти частоту дискретизации:

.

.

При нахождении частоты дискретизации по Бернштейну обычно получается завышение требуемого значения до 10 — 14 раз. В нашем случае частота дискретизации по теореме Бернштейна в 13,6 раза превышает частоту дискретизации по теореме Котельникова, что указывает на верность расчета.