Методы решения многокритериальных задач

На сегодняшний день существует большое количество методов решения как сильно структурированных, так и неструктурированных многокритериальных задач.

В данной работе будут рассмотрены некоторые из них [7,15].

Метод ведущего или главного критерия.

" Этот метод прост и не требует больших затрат по времени. Он заключается в том, что ЛПР определяет наиболее важный критерий, в соответствии с которым он будет принимать решение.

В случае равенства оценок по самому важному критерию, необходимо перейти ко второму/третьему (и так далее) пока не будет найден единственный лидер.

Что касается оставшихся критериев, то по ним необходимо установить величину уступки (насколько можно отклониться от оптимального значения) и перевести их в ограничения.

Достоинства:

Как уже было упомянуто, к плюсам можно отнести легкость, простоту и скорость принятия решения.

Метод не требует специальных знаний и не требует больших затрат на его проведение.

Недостатки:

Не учитывает превосходство в важности критериев.

То есть возможна такая ситуация, когда по первому критерию имеется всего один лидер с совсем небольшим выигрышем в оценке, однако он проигрывает по всем остальным критериям, которые в итоге должны прямым образом повлиять на принимаемое решение, но они не учитываются.

Таким образом, становится понятно, что данный метод не стоит использовать при наличии большого количества критериев, которые имеют определенную важность для принятия решения.

Метод последовательных уступок В этом методе ЛПР должен проранжировать имеющиеся критерии по важности в соответствии со своими предпочтениями. Затем все критерии необходимо привести к одному типу (либо максимизации, либо минимизации), используя формулы max G= -min (-G), min F= -max (-F). На следующих этапах ЛПР должен максимизировать/минимизировать каждый критерий в отдельности, отбрасывая остальные. При этом после максимизации/минимизации критерия его необходимо перевести в разряд ограничений, установив величину возможного отклонения (уступки). Максимизировать/минимизировать по остальным критериям необходимо, учитывая ограничения, полученные на предыдущих этапах. Совершать вышеописанные операции необходимо по порядку от наиболее важного к наименее важному и до тех пор, пока не будет найдено наиболее подходящее значение.

Достоинства:

Вышеописанный метод привод к компромиссному решению за счет того, что учитывает все критерии.

Недостатки:

Основной недостаток данного метода заключается в том, что он не учитывает превосходство в важности каждого критерия. Иначе говоря, в методе необходимо оценить важность критерия в бинарной системе (приоритетнее или нет), хотя бывают ситуации, когда какой-то из критериев значительно важнее, чем другой, что должно отразиться на выбранной альтернативе.

Метод минимакса [7].

Метод минимакса заключается в том, что ЛПР находит решение, определяя минимальное значение из максимальных отклонений в критериях, которые вычисляются в компромиссном решении, от оптимальных показателей, которые устанавливаются в отношении каждого критерия.

На первом этапе необходимо решить однокритериальные задачи по каждому из критериев, другими словами найти экстремумы функций.

Допустим, что найденное компромиссное решение выглядит следующим образом:, тогда вектор решения равен. Далее необходимо найти величину относительного отклонения каждого критерия от экстремума. Максимальное из всех отклонений будет выглядеть следующим образом z=max z1, z2… zm. Далее получаем неравенство при допуске о том, что в реальных задачах экстремумы больше 0. Учитывая, что значения в максимизируемых критериях меньше, чем экстремумы, то получим Fi*+zFi, max >=Fi, max. Для минимизируемых значений соответственно Fi*-zFi, min <=Fi, min. Теперь необходимо минимизировать максимальные отклонения, то есть минимизировать Z. Это и есть целевая функция.

Математическая модель, которая была получена, является однокритериальной. Она дает возможность установить компромиссное решение.

Достоинства:

Учитываются все критерии, отсутствие необходимости привлечения группы экспертов для установления важности критериев.

Недостатки:

Не учитывает приоритетность критериев.

Далее рассмотрим методы, используемые для неструктурированных управленческих задач.

Принцип Парето решения многокритериальных задач [12].

Суть принципа Парето заключается в том, что он позволяет исключить неприемлемые решения из существующего множества. Это необходимо для того, чтобы сузить, как правило, большое множество в лучшем случае до единственного решения.

Данный принцип основывается на наличии доминируемых и несравнимых решений.

Алгоритм построения множества недоминируемых решений состоит в следующем:

Этап первый. Решение х1 необходимо последовательно сравнивать с остальными альтернативами, учитывая предпочтения ЛПР. Далее в случае наличия менее предпочтительной альтернативы, доминируемая (не предпочитаемая) удаляется из имеющегося множества, а доминирующая на данный момент альтернатива сравнивается с оставшимися. Если не находится альтернативы, которая была бы доминирующей по отношению к рассмотренной выше (оставленной для дальнейшего сравнения), то она переводится в множество недоминируемых решений. Если же находится, то менее предпочитаемая удаляется.

Этап второй. Он абсолютно аналогичен первому. Только сравнение начинается с другой альтернативы. Результатом этого этапа является либо удаление альтернативы, либо перемещение ее во множество недоминируемых решений, либо оставление в исходном множестве.

После завершения действия алгоритма должно остаться не пустое множество потенциальных решений.

Возникает вопрос о том, как сравнить два произвольных решения. Для решения этой проблемы существует аксиома Парето:

для каждых двух решений х1, х2, где справедливо неравенство F (x1)>=F (x2) следует, что х1 более предпочтительно, чем х2.

Неравенство F (x1)>=F (x2) означает, что должна выполняться следующая система:

Fi (x1)>=Fi (x2) — для любого критерия Fi, где i=1,2…m.

Fj (x1)>=Fj (x2) — как минимум для одного критерия Проанализировав все переменные вышеуказанным способом, ЛПР получит множество Парето-оптимальных решений, из которого и делается окончательный выбор.

Достоинства:

Метод берет во внимание все критерии, нахождение компромиссного решения.

Недостатки:

В реальных условиях не всегда соблюдается транзитивность, трудоемкий процесс.

Метод анализа иерархий Томаса Л. Саати [10].

Данный метод по оценкам многих экспертов является наиболее эффективным в многокритериальных управленческих задачах.

Метод заключается в следующем: процесс принятия решения состоит из 3 уровней:

цели;

критерии;

альтернативы.

На каждом из уровней определяется важность/приоритетность элементов рассматриваемого уровня по отношению к вышестоящему, основываясь на принципе парных сравнений.

Приоритетность критериев устанавливается, основываясь на глобальной цели, а альтернативы — для каждого критерия.

В связи с иерархичностью метода возникает взаимосвязь альтернативы с глобальным критерием.

Имея данные по приоритетности альтернатив и критериев, ЛПР проводит слияние данных в единый приоритет для каждого решения. После чего эти приоритеты сравниваются друг с другом для выбора наилучшей альтернативы. То есть наибольший глобальный приоритет определяет наиболее подходящую альтернативу.

Далее ЛПР имеет возможность проверить свою последовательность, посчитав степень согласованности рассуждений." .

Метод ELECTRE [18,25].

Данный метод предполагает решение задач с существующими многокритериальными альтернативами. Особенностью метода ELECTRA является то, что для выбора наиболее оптимальной альтернативы не принимается во внимание количественное значение критерия, а устанавливается значение превосходства альтернативы.

Использование данного метода предполагает следующие этапы:

разрабатываются критерии оценки альтернатив;

определяются веса критериев;

выставляются оценки альтернативам по имеющимся критериям;

в соответствии с имеющимися оценками подсчитываются индексы согласия и несогласия. На основании данных индексов определяется согласие и несогласие с утверждением о том, что одна из гипотез превосходит другую;

устанавливаются уровни согласия/несогласия;

с данными уровнями производится сравнение имеющихся индексов. В случае если индексы согласия и несогласия соответственно выше и ниже заданных уровней, то альтернатива признается более предпочтительной, чем сравниваемая с ней. В случае если данное условие не соблюдается, альтернативы являются несравнимыми;

из полученного множества убираются доминируемые альтернативы;

устанавливаются другие уровни согласия/несогласия, которые являются более слабыми, чем предыдущие, то есть уровень согласия становится меньше по значению, а уровень несогласия становится больше по значению;

производится повторная проверка соответствия уровней согласия и несогласия, после чего удаляются доминируемые альтернативы;

получают три ядра альтернатив, которые ранжированы по качеству, то есть альтернативы из последнего ядра являются самыми качественными.

Основным достоинством данного метода принято считать то, что предпочтения ЛПР выявляются поэтапно в процессе определения значений согласия/несогласия. Данный процесс позволяет ЛПР сформировать предпочтения по отношении к критериям. Также данный метод позволяет разрабатывать веса критериев на основании группового мнения экспертов, а не мнения одного ЛПР.

Также к достоинству может быть отнесено то, что оценки альтернатив являются относительными по сравнению с другими альтернативами, а не абсолютными, как в ряде других методов. Данный метод позволяет выделять альтернативы с противоречивыми оценками.

Однако основным недостатком данного метода является то, что не учитывается величина превосходства по каждому из критериев для альтернатив.

На основании проведенного анализа, а также на основании исследований [18] можно осуществить сравнение рассмотренных методов:

Таблица 1 — Сравнительный анализ методов.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что метод анализа иерархий Томаса Саати является наиболее подходящим и релевантным в сравнении с остальными проанализированными методами.

Для целей данной работы будет использоваться Метод Анализа Иерархий Томаса Саати.