Место темы «четырехугольник» в курсе математики средней школы

К 12−13 годам, когда ученик приступает к изучению геометрии, непосредственный интерес к ее освоению уже практически утрачен, еще по-настоящему не проявившись. Ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием, как геометрию. Наглядно-образное мышление и воображение наиболее полно развиваются на стыке старшего дошкольного и младшего школьного возраста. Наглядная геометрия предполагает изучение свойств геометрических форм только на отдельных геометрических предметах путем непосредственного их восприятия и представления. При этом учитель не прибегает к общим отвлеченным понятиям этих форм. Для обоснования справедливости находимых свойств может широко использоваться индуктивный метод. Впервые, в школьном курсе математики, с четырехугольниками школьники встречаются в начальной школе. Изучение четырехугольников, а именно прямоугольника и квадрата, идет поверхностно. В основном изучается периметр и площадь, так как при решении задач на нахождение площади и периметра отрабатывается умение применять операции сложения, вычитания, умножения и деления. А это одно из основных умений, которые должны выработаться в начальной школе. В 5 и 6 классах школьники также встречаются с четырехугольниками. Как и в начальной школе, изучение идет поверхностно. К прямоугольнику и квадрату добавляются параллелограмм и трапеция. Более подробно тема «Четырехугольники» изучается в курсе геометрии в восьмом классе. Тема «четырехугольники» в учебнике Атанасяна Л. С. изучается в начале восьмого класса. На её изучение отводится целая глава. Первый параграф данной главы посвящен многоугольникам. Дается определение многоугольника (п. 39), а также что называют вершинами и сторонами многоугольника. Говорится, что называется n-угольником. Приводятся примеры фигур, которые являются многоугольниками и тех, которые не являются многоугольниками. Дается определение соседних вершин и диагоналей многоугольника. В конце данного пункта говорит о том, что любой многоугольник разделяет плоскость на две части (внутренняя и внешняя область многоугольника). В следующем пункте первого параграфа (п. 40) автор рассказывает о выпуклых многоугольниках. Приводит пример выпуклого и невыпуклого многоугольника. Рассматривая выпуклый n-угольник A₁A₂A₃…A_n-1A_n, автор говорит, что углы A_nA₁A₂, A₁A₂A₃, …, A_n-1A_nA₁ называются углами этого многоугольника и показывает, чему равняется сумма углов выпуклого n-угольника. Последний пункт данного параграфа (п. 41) посвящен четырехугольнику. Автор не дает определения четырехугольника, он просто говорит, что четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Дает определение противоположных сторон и вершин. Приводит пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника. На основании суммы углов выпуклого n-угольника делается вывод, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360. Второй параграф посвящен параллелограмму и трапеции. При изучении параллелограмма (п. 42) дается его определение, и доказываются его свойства. Л. С. Атанасян предлагает другой способ доказательства свойств параллелограмма по сравнению с учебником Погорелова. Данные доказательства являются меньшими по объему и легче усваиваются учениками. В следующем пункте параграфа (п. 43) рассказывается о признаках параллелограмма. В отличие от А. В. Погорелова Л.С. Атанасян рассматривает три признака параллелограмма. Это позволяет быстрее решать задачи на доказательство. Последний пункт параграфа (п. 44) отводится трапеции. В этом пункте дается определение трапеции и рассматриваются виды трапеций. В этом учебнике также предлагается для изучения теорема Фалеса, но в явном виде она не выделена отдельным пунктом. Третий параграф посвящен прямоугольнику, ромбу и квадрату. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма. Так как прямоугольник и ромб являются параллелограммом, то они обладают всеми свойствами параллелограмма. Также в учебнике рассматривается особые свойства прямоугольника и ромба. Определение и свойство квадрата рассматриваются подробно, добавляются особые свойства квадрата. В конце параграфа отдельным пунктом (п. 47) выделена осевая и центральная симметрия.

Понятие четырехугольник вводится в зависимости от того, как и когда введено понятие многоугольника:

• — в учебнике Л. С. Атанасяна четырехугольник вводится как частный вид многоугольника;
• — в учебнике А. В. Погорелова понятие многоугольника вводится значительно позже, поэтому дается определение, аналогичное определению треугольника: «Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться». В теме «Четырехугольники» рассматриваются выпуклые и невыпуклые четырехугольники. Основанием для классификации выпуклых четырехугольников является наличие параллельных сторон: в случае одной пары параллельных сторон из класса четырехугольников выделяется множество трапеций, в случае двух пар параллельных сторон — множество параллелограммов. При классификации всех четырехугольников за основание классификации принимается сначала взаимное расположение противоположных сторон — не параллельность или параллельность их, вследствие чего множество всех выпуклых четырехугольников разбивается на три класса:
  • 1. Четырехугольники, не имеющие параллельных сторон;
  • 2. Трапеции (одна пара параллельных сторон);
  • 3. Параллелограммы (две пары параллельных сторон).

За основание классификации параллелограммов принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно параллелограммы и ромбы), а также отсутствие или наличие прямого угла (собственно параллелограммы и прямоугольники). В основу классификации ромбов кладется отсутствие или наличие прямого угла (собственно ромбы и квадраты). При классификации прямоугольников за основание принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно прямоугольники и квадраты). Классификация трапеции проводится сначала по длине боковых сторон (равнобокая и неравнобокая трапеции); затем неравнобокие трапеции в свою очередь разбиваются на прямоугольные и непрямоугольные. Описанный процесс составления классификации четырехугольников, в частности выпуклых четырехугольников, в основу которого положена последовательная целенаправленная деформация каждой вновь полученной фигуры (получить сначала параллельные, а потом и равные стороны, затем прямые углы), позволяет отчетливо выяснить генетический характер образования каждого частного вида выпуклых четырехугольников. Из четырехугольника с непараллельными сторонами получаются трапеции и параллелограммы, из параллелограммов — прямоугольники и ромбы, из ромбов и прямоугольников — квадраты. Выяснение этого генезиса — происхождения одной фигуры из другой — помогает более отчетливому восприятию самих геометрических образов, выяснению связей между ними, а в силу этого позволяет распространять свойство одной более общей фигуры, например параллелограмма, на частные виды ее, на прямоугольник, ромб и квадрат.