Разрывные функции. 
Разрывные и непрерывные функции

Основные понятия

Введем основные понятия, используемые в работе.

Дана функция определенная в окрестности точки .

Производной функции в точке называется предел в точке (конечный) отношения приращения функции к приращению аргумента, т. е.

Производная функции в точке обозначается символом.

Если не существует, то функция не имеет производной в точке .

Если точка не является предельной для области определения, то не имеет смысла.

Функция называется непрерывной в точке, если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е.

Так как (будучи значением функции) есть некоторое действительное число, то функция, непрерывная в точке, имеет конечный предел в этой точке, равный .

Если не имеет смысла, т. е. если не есть предельная точка множества значений аргумента, то говорят о непрерывности в точке не имеет смысла с точки зрения принятого определения.

Точки разрыва функции

Если точка является предельной для области определения функции и если условие непрерывности.

не выполняется, то точка называется точкой разрыва функции, а функция называется разрывной в точке .

Условие непрерывности может не выполняться, если:

• 1) Не существует конечный предел в точке;
• 2) Точка не принадлежит области определения функции;
• 3) Существует конечный предел функции в точке, не равный значению функции в точке :

Отметим следующие типы точек разрыва:

1. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы различны:

то точка называется точкой разрыва первого рода (рис. 1).

разрывные непрерывные функции производные.

Рис. 1.

Так как.

то функция в точке разрыва первого рода не имеет предела. Сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать области определения функции.

Пример 1. Положим.

.

Имеем:

не существует.

Точка есть точка разрыва первого рода.

Пример 2.

Функция определена всюду, кроме точки. Исследуем поведение функции в окрестности точки .

Имеем:

Точка точка разрыва первого рода. (рис.2).

Рис. 2.

2. Функция, имеющая бесконечный предел в точке (- действительное число), является разрывной в этой точке.

Пример 1. Положим. Имеем:; точка 0 есть точка разрыва. (рис. 3).

Рис. 3.

Пример 2. Положим Имеем.

.

Тогда точка 5 есть точка разрыва функции (рис.4).

Рис. 4.

3. Функция в точке имеет различные односторонние пределы, причем хотя бы один из них бесконечен.

Пример 1. Положим.

.

Имеем:

(рис. 5).

Точка есть точка разрыва функции второго рода.

Рис. 5.

Пример 2. Положим Имеем:

Точка есть точка разрыва функции второго рода (рис.6).

Рис. 6.

4. Хотя бы один из односторонних пределов не существует. Такая точка разрыва называется обычно точкой разрыва второго рода. В этом случае не существует .

Пример 1. Функция.

имеет точку 0 точкой разрыва второго рода, т.к. не существует ни конечного, ни бесконечного предела в точке 0.

Пример

Имеем:

(рис.7).

Исследуем поведение функции в окрестности точки .

Имеем:

В точке функция имеет разрыв второго рода.

Исследуем поведение функции в окрестности точки.

Имеем:

В точке функция имеет разрыв второго рода.

Рис. 7.

5. Существует предел.

в этом случае точка является точкой разрыва (рис. 8).

Рис. 8.

6. Если существует конечный предел, но точка не принадлежит области определения функции, то точка есть точка разрыва (рис. 9).

Рис. 9.

7. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы равны:

то точка называется точкой устранимого разрыва. Если доопределить такую функцию, положив.

то получится функция, непрерывная в точке .

Пример 1.

Функция определена всюду, кроме точки. Исследуем поведение функции в окрестности точки (рис.10).

Имеем:

В точке функция имеет точку устранимого разрыва.

Рис. 10.

Пример 2. функция определена всюду, кроме точки. (рис.11) Точка является двусторонней предельной точкой. Исследуем поведение функции в окрестности данной точки.

Имеем:

следовательно,, следовательно, точка является точкой устранимого разрыва.

Рис. 11.

Итак, мы рассмотрели разрывные функции и выдели семь типов точек разрыва, в которых функция не имеет производную.