Определение напряжений. 
Расчеты на прочность при изгибе

При изгибе в каждом сечении в общем случае возникают внутренние нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения при изгибе в произвольной точке поперечного сечения (рис. 2.4).

.

где M_z — изгибающий момент в сечении, J_z — момент инерции поперечного сечения относительно оси z, у — координата точки, в которой определяется напряжение.

В дальнейшем, так как рассматривается изгиб в одной плоскости, индекс z опускается.

Рисунок 2.4.

Касательные напряжения, возникающие в сечениях при изгибе, на порядок меньше нормальных, поэтому при расчетах на прочность ими обычно пренебрегают.

Наибольшие напряжения возникают в наиболее удаленных от оси изгиба z точках сечения. Для симметричных относительно оси z сечений.

.

где W=J/(h/2) — осевой момент сопротивления (относительное оси z), h — высота сечения.

Для прямоугольного сечения с размерами b и h: J=bh³/12; W=bh²/6.

Для кольцевого сечения с наружным диаметром d и внутренним d_в=ad

Эпюры максимальных нормальных напряжений для балок не строят, так как балки, как правые, имеют одинаковое сечение по всей длине и эпюра напряжений повторяет эпюру изгибающих моментов. Поэтому опасное сечение определяется по эпюре моментов, так как в том сечении, где действует наибольший (по абсолютной величине) момент, возникают и наибольшие напряжения.

На основе условия прочности _мах [] проводят либо проверочный расчет на прочность — определяют коэффициент запаса n и сравнивают его с рекомендуемым значением [n]:

n=_опmax [n]

либо проектный — подбирают поперечное сечение балки по осевому моменту сопротивления сечения:

WM_max /[]

При заданной форме сечения по W определяют все размеры сечения. Для двутавра, швеллера из таблиц стандарта выбирают номер балки требуемого профиля с ближайшим к найденному значением W. При этом допускаемая перегрузка не должна превышать 5%, а недогрузка — 15%.

Задача 2.3. Подобрать прямоугольное (h = 2b) сечение деревянной балки, если заданы M₀ = 20 кН, q = 10 кН/м, a = 2 м, допускаемое напряжение [] = 12 МПа.

Определяем реакции и строим эпюры q и M. Эпюры приведены на рисунке 2.4. Изгибающий момент в опасном сечении M_max =33,3 кНм.

Рисунок 2.5.

Подбираем сечение. Из условия прочности находим осевой момент сопротивления сечения.

м³.

Для прямоугольного сечения момент сопротивления.

откуда определяем.

м = 161 мм.

Определим перегрузку. При выбраных размерах.

Максимальные напряжения.

= 12,2 МПа.

Перегрузка составит.

что в пределах допускаемых значений.