Уравнения поля эллиптического типа и метрика Метагалактики

Метрика (42) не является единственно возможной при организации движения материи. Очевидно, что волны, скорость распространения которых ограничена, не могут быть преобладающей формой движения в большом масштабе. Рассмотрим еще одну метрику, описывающую вращение неоднородной Вселенной:

(45).

Вычисляя отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна в метрике (45), находим:

(46).

Используя уравнение, имеем:

(47).

гравитационный вселенная эйнштейн неоднородный В случае статической метрики положим, тогда уравнение (47) приводится к виду:

(48).

Заметим, что уравнение (48) является линейным, как и уравнение Пуассона в теории гравитации Ньютона. Интегрируя уравнение (48), находим его общее решение:

(49).

Здесь — произвольные постоянные. Потенциал (49) можно сравнить со статическим гравитационным полем галактики (11) и кластера галактик (17). Мы видим, что квадратичный потенциал, которому соответствует закон Хаббла (15), сохраняет свой вид и в масштабе Вселенной. Отметим, что для потенциала (49) выполняется принцип суперпозиции в форме (17).

Следовательно, метрика (45) и уравнение (47) могут быть использованы для моделирования течений в масштабе Метагалактики. Но уравнение (47) является уравнением эллиптического типа, что означает зависимость решения от граничных условий не только в прошлом, но и в будущем. Вопрос о граничных условиях для уравнения (1) рассматривал Эйнштейн, который пришел к выводу, что Вселенная представляет собой замкнутый сферический мир. Другая точка зрения содержится в монографии, автор которой предположил, что имеется только три типа полей тяготения, и что для каждого типа существуют свои граничные условия.

Задача Коши для уравнений Эйнштейна рассматривалась многими авторами. Некоторые авторы предполагали, что уравнения поля Эйнштейна являются гиперболическими в общем случае, ссылаясь на известные результаты, полученные при определенных ограничениях де Дондер и Ланцош. Однако приведенная выше метрика (45) и уравнение (47) указывают на существование гравитационных полей, удовлетворяющих эллиптическим уравнениям.

Уравнение (47) можно рассматривать как модель явления коллапса сферического вращающегося тела в пространстве отрицательной кривизны. Обычно предполагается, что черные дыры представляют собой статические образования, взаимодействующие с внешним миром посредством гравитационного поля. Однако уравнение (47) показывает, что черная дыра, если она существует, должна быть замкнута не только в пространстве, но и во времени. Действительно, рассмотрим решение уравнения (47), зависящее только от времени. Положим, тогда уравнение (47) приводится к виду:

(50).

Уравнение (50) можно проинтегрировать в общем случае, в результате находим:

(51).

Полученное решение (51) описывает объект, локализованный вокруг момента времени, что и требовалось доказать.

В общем случае решение задачи о метрике объекта, локализованного в пространстве и во времени зависит от граничных условий. Так, например, для нашей Метагалактики можно поставить задачу о нахождении гравитационного потенциала в области, используя в качестве граничного условия закон расширения наблюдаемой Вселенной. Однако решение этой задачи выходит за рамки настоящей работы.