Факториальные кольца. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

Простые элементы области целостности

Известны два способа нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел: с помощью разложения чисел на простые множители и с помощью алгоритма Евклида. Анализ этих двух способов, попытка переноса их на более общие ситуации приводят к понятиям факториальных и евклидовых колец.

Первый способ нахождения НОД основан на следующей теореме.

Теорема 3.2 (основная теорема арифметики). Всякое натуральное число, отличное от единицы, либо является простым, либо представимо в виде произведения простых натуральных чисел, причем однозначно, если не обращать внимания на порядок следования сомножителей.

Например, 6 = 2−3 — разложение составного числа 6 на простые натуральные числа 2 и 3. В натуральных числах есть еще одна возможность: 6 = 3 • 2. В кольце целых чисел к этим разложениям присоединяются 6 = (-3) • (-2) и 6 = (-2) • (-3), где сомножители -2 и -3 являются простыми целыми числами. Все эти разложения считаются «одинаковыми». Сомножители любых двух разложений можно так сопоставить друг другу, что соответствующие простые множители окажутся ассоциированными. Для обобщения этой ситуации введем необходимые понятия. Начнем с определения понятия простого элемента области целостности.

Определение 3.5. Элемент р области целостности К называется простым, если он отличен от нуля, не является делителем единицы и не представим в виде произведения элементов, отличных от делителей единицы. Элемент а ?= 0 из К называется составным, если он представим в виде произведения элементов, отличных от делителей единицы.

Таким образом, область целостности состоит из нуля, делителей единицы, а остальные элементы подразделяются на простые и составные.

Рассмотрим примеры.

• 1. В кольце целых чисел простыми будут ±2, ±3, ±5, ±7,…
• 2. В кольце целых комплексных чисел число 2 уже не является простым: 2 = (1 + 0(1 -0- Докажем, что число 1 + i является простым. Пусть 1 + i = d? q. Тогда 2 = 11 + i |² = | d |²1 q |². Поскольку | d |² и | q ² — натуральные числа, то либо | d ² - 1,

либо | q |² = 1. Пусть d²-lnd = a + bi. Тогда a² + b² = 1, откуда a = ±1, b = 0 или a = 0, b = ±1. Значит, d = ±1 или d — ±i, т. е. d является делителем единицы. Если же | q ² = 1, то q является делителем единицы. Таким образом, хотя бы одно из чисел d или q является делителем единицы, и это доказывает простоту числа 1 + i. Аналогично можно доказать простоту числа 1 — ?.

Подобным образом доказывается простота числа 3. А вот 5 = (2 + 0(2 — 0, следовательно, 5 является составным числом.

Известно, что простое натуральное число р является простым в кольце целых комплексных чисел тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4п + 3, где п — целое неотрицательное число. Целое комплексное число а = а + bi при а Ф 0 и Ъ Ф 0 является простым в Z + Zi тогда и только тогда, когда а² + Ъ² — простое натуральное число вида 4п + 1 или 2. Доказательства этих фактов нетривиальны, используют теорию чисел, поэтому мы их не приводим.

• 3. В кольце многочленов Р[х] над полем Р простыми элементами являются в точности неприводимые над полем Р многочлены. Напомним, что многочлен ф (х) называется неприводимым над полем Р, если его степень > 1 и он не представим в виде произведения многочленов степени > 1.
• 4. Простые элементы кольца многочленов Z[x] исчерпываются простыми целыми числами и неприводимыми над полем Q примитивными многочленами. Напомним, что примитивным называется многочлен с целыми коэффициентами, у которого наибольший общий делитель всех коэффициентов равен единице.
• 5. В поле нет ни простых, ни составных элементов.

Отметим два свойства простых элементов области целостности.

1. Делители простого элемента р исчерпываются делителями единицы е и элементами ер.

Доказательство. Очевидно, делитель единицы е и элемент ер являются делителями р. Пусть р — простой элемент области целостности К и d — его делитель в К. Тогда р = d? q, где q е К. По определению простого элемента, либо d, либо q должны являться делителями единицы. Но если q — делитель единицы, то элемент е = q^_1 является делителем единицы и d = ер.

2. Если р и q — простые элементы области целостности К и р • q, то q = ер, где е — делитель единицы.

Доказательство. По определению простого элемента, q не может быть делителем единицы. Поскольку q является делителем простого элемента р, то по предыдущему свойству q = ер, где е — делитель единицы.