Уравнение в частных производных

Итак, наша проблема несколько утряслась: нам. для описания семейства траекторий, необходимо найти два первых интеграла. При этом они должны быть в некотором смысле разными. Более точно функционально независимыми, это понятие мы будем обсуждать чуть ниже^[1]. Однако сколько их на самом деле? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, нам удобно будет продифференцировать тождество.

и получить.

или. учитывая, что (x, y, z) определяются уравнениями (25.1) и что это должно выполняться в каждой точке каждой траектории,.

Мы получили интересное уравнение вида, который нам раньше не встречался: уравнение с частным, и производными. Решение таких уравнений выходит за рамки нашего курса (хотя на самом деле в основе решения лежит нахождение первых интегралов системы обыкновенных дифференциальных уравнений), но мы будем им пользоваться для анализа той задачи, которую мы себе поставили.

Лемма 25.2 Для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция F (x, y, z) была первым интегралом системы. (25.1), необходимо и достаточно, чтобы она была решением уравнения (25.4).

Доказательство. Необходимость уже фактически доказана: выше мы из определении первого интеграла дифференцированием вывели само уравнение. Докажем достаточность. Пусть F (x, у, z) решение^[2] уравнения (25.4). Подставим в него произвольное решение системы (25.1) и найдем производную функции F (x (t). y (t), z (t)) по t (это возможно, поскольку и наружная, и внутренняя функции непрерывно дифференцируемы):

в силу (25.1). Значит, F (x (t), y (t), z (t)) константа, a F (x, y, z) первый интеграл (что и требовалось доказать).

Описание всех первых интегралов системы (25.1) с помощью уравнения (25.4) позволяет оценить, насколько это множество велико: ведь если F (x, y, z) интеграл, а и (г) произвольная скалярная функция^[3], то суперпозиция u (F (x, y, z)) тоже будет первым интегралом (это следует из определения первого интеграла) и будет удовлетворять тому же уравнению: ведь частные производные сложной функции получаются из частных производных внутренней функции просто умножением на u'(F (x, y, z)), и поэтому.

По этой причине множество решений уравнения в частных производных обычно зависит не от произвольной постоянной или постоянных.

(как решения обыкновенных дифференциальных уравнений), а от произвольной функции. Поскольку мы рассчитываем иметь два первых интеграла F (x, y, z) и G (x, y, z) в качестве решения можно будет взять как минимум произвольную функцию от двух аргументов U (F, G). Оказывается. что это и есть в точности формула общего решения уравнения (25.4): F_Qg = U (F (x, y, z), G (x, y, z)), где F и G два «различных» (мы ниже уточним это) первых интеграла системы (25.1). Мы не будем углубляться в теорию решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, развитую в значительной степени в начале XIX века Монжем^[4] это выходит за рамки нашего курса; тем. кого заинтересовал этот вопрос, рекомендуем прекрасное его изложение в |б| и в |3|. см. также |7]. Более подробно эта теория изложена, наир., в 131J, 154].

Мы же вернемся к вопросу о фазовых траекториях и интегральных поверхностях. Множественность интегральных поверхностей (и множественность первых интегралов) можно увидеть и геометрически: в простейшем случае системы.

траекториями которой являются прямые, параллельные оси z, интегральной поверхностью может быть любая плоскость, параллельная этой оси (рис. 25.2 слева). Более того, фактически задав произвольную кривую в плоскости (ж, у) и проведя через каждую ее точку прямую, параллельную оси z. мы получим интегральную поверхность (рис.

25.2 справа). Поскольку в нашем примере интегралами являются сами величины х w у напрашивается аналогия и для общего случая: интегральная поверхность задается некоторой кривой, но в плоскости произвольных констант (СьСг), т. е. некоторым соотношением вида U (C, C2) = 0. Семейство поверхностей определяется семейством кривых U (Ci, С2) = С, и мы опять приходим к той же формуле для первого интеграла, которую получили, анализируя уравнение в частных производных:

>

где F (x, y, z) и G (x, y, z) два первых интеграла системы (25.1), a U произвольная функция двух переменных.

Рис. 25.2: Интегральные поверхности простейшей системы: слева различные плоскости, справа поверхность, полученная сдвигом кривой вдоль траектории.

• [1] Грубо говоря, нужно исключить случай, когда один из интегралов выражаетсякак функция от другого тогда их поверхности уровня будут не пересекаться, асовпадать, и линий пересечения не получится.
• [2] Мы пока, но обсуждали понятие решения, а пользовались лишь интуитивнымипредставлениями. Точная формулировка выглядит так: решением называется всякая непрерывно дифференцируемая функция, подстановка которой в уравнение даеттождество.
• [3] Обычно для аккуратности ее предполагают строго монотонной и непрерывнодифференцируемой.
• [4] Гаспар Монж G. Monge (1746 1818) французский математик. Хотя его вклад вцелый ряд областей математики огромен (проекционная геометрия, дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия), наибольшую известность он получилкак творец начертательной геометрии науки, без которой невозможно было бысоздать ни одной достаточно сложной машины.