Пример вычислений.
Статистическая обработка данных, планирование эксперимента и случайные процессы
В табл. 3.3 приводится результат расчета уравнения регрессии через главные компоненты для этой переменной. В этом примере имела место точная аппроксимация: коэффициент множественной корреляции равен 1, а0 = 0,5, а: = 1, а2 = 1. Коэффициент при х3 = t3 оказался равным нулю (а3 = 0). Таким образом, результат расчета дал совпадение с параметрами аналитического выражения. Образуют систему… Читать ещё >
Пример вычислений. Статистическая обработка данных, планирование эксперимента и случайные процессы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Для углубления понимания факторного анализа рассмотрим пример.
Пример 3.1.
В первом примере в качестве признаков представлены аналитические зависимости хг = t, х2 = t2, х3 = t3 на интервале значений t е [-4, 4].
Из теории специальных функций известно, что функции полиномиального вида типа 
образуют систему ортонормированных функций Лежандра, которые и являются собственными функциями или компонентами при решении проблемы собственных значений для ковариационной матрицы между полиномиальными переменными.
В табл. 3.1 приведены исходные данные и результаты первичной статистической обработки по программе факторно-регрессионного анализа (FAREG) для этого примера.
Таблица 3.1
Исходные данные примера 3.1.
Параметры. | *i = f | *2= f2 | *з = t3 | и. X | У2 = 0,5 + хг + х2 |
Значения. | — 4,0. | 16,0. | — 64,0. | — 1,0. | 12,5. |
— 3,0. | 9,0. | — 27,0. | — 3,0. | 6,5. |
Параметры. | хг = t | *2 = t2 | *з = t3 | *4 = У1. | У 2 = °>5 + *1 + *2. |
Значения. | — 2,0. | 4,0. | — 3,0. | — 2,0. | 2,5. |
— 1,0. | 1,0. | — 1,0. | — 1,0. | 0,5. | |
0,0. | 0,5. | ||||
1,0. | 1,0. | 1,0. | 1,0. | 2,5. | |
2,0. | 4,0. | 3,0. | 2,0. | 6,5. | |
3,0. | 9,0. | 27,0. | 3,0. | 12,5. | |
4,0. | 16,0. | 64,0. | 1,0. | 20,5. | |
Средние. | 0,0. | 6,66 667. | 0,0. | 0,0. | 7,1666. |
Стандартные отклонения. | 2,74. | 6,20. | 34,96. | 1,93. | 6,78. |
Коэффициенты корреляции. | 1,000. | 0,2. | 0,924. | 0,849. | 0,404. |
0,2. | 1,000. | 0,0. | 0,003. | 0,913. | |
0,924. | 0,0. | 1,000. | 0,598. | 0,373. | |
0,549. | 0,000. | 0,598. | 1,000. | 0,343. | |
0,404. | 0,915. | 0,373. | 0,343. | 1,000. |
Результат решения проблемы собственных значений приведен в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Величины собственных значений и главных компонент (зависимая переменная 5. Число независимых переменных 3. Независимые переменные 123).
Собственные значения. | 1,924. | 1,00. | 0,075. |
Накопленные отношения собственных значений. | 0,641. | 0,974. | 1,00. |
Вектор 1. | 0,707. | 0,00. | 0,707. |
Вектор 2. | — 0,00. | 1,00. | — 0,00. |
Вектор 3. | — 0,707. | 0,00. | 0,707. |
Численные значения главных компонент. | |||
— 1,678. | 1,50. | — 0,95. | |
— 0,95. | 0,37. | 0,83. | |
— 0,48. | — 0,43. | 1,288. | |
— 0,20. | — 0,91. | 0,86. | |
— 0,00. | — 1,07. | — 0,00. | |
0,20. | — 0,91. | — 0,86. | |
0,49. | — 0,43. | — 1,288. | |
1,68. | 1,50. | 0,95. | |
0,95. | 0,37. | — 0,83. | |
На рис. 3.1, а построены графики изменения исходных переменных, хг = t, х2 = t2, х3 = t3, te [-4, 4], а на рис. 3.1, 6 приведены графики компонент z1(t), z2(t), z3(t) согласно табл. 3.1 и 3.2. Из зависимостей на рисунке ясно, что, действительно, компоненты z,(t) образуют систему ортогональных (взаимно независимых) функций. Переменная z2(t) (парабола) совпадает по виду с переменной х2 — t2 и представляет ее в центрированном и нормированном виде. Функции Zj (t) иг3(0 представляют линейные комбинации переменных хг = t и х3 = t3, однако если исходные переменные коррелируют, то компоненты совершенно независимы.
Рис 3.1. Аналитические зависимости результативных признаков x,(f) (а) и главных компонент z,(f) (б)
В примере в качестве результативного признака взята функция у2 = = 0,5 + t + t2. Она помещена на место пятой переменной (см. табл. 3.1).
В табл. 3.3 приводится результат расчета уравнения регрессии через главные компоненты для этой переменной. В этом примере имела место точная аппроксимация: коэффициент множественной корреляции равен 1, а0 = 0,5, а: = 1, а2 = 1. Коэффициент при х3 = t3 оказался равным нулю (а3 = 0). Таким образом, результат расчета дал совпадение с параметрами аналитического выражения.
Таблица 3.3
Коэффициенты корреляции.
Коэффициенты корреляции У с главными компонентами | 0,3961. | 0,9149. | — 0,0786. |
Коэффициенты регрессии на главных компонентах | 2,68 625. | 6,20 434. | — 0,5329. |
Среднее квадратическое отклонение оценки У | 0,2 145. | ||
Множественный коэффициент корреляции | 1,000. | ||
Вес переменных в главных компонентах: | |||
переменная 1 | 0,50 000. | 0,0. | 0,5000. |
переменная 2 | 0,0. | 1,0000. | 0,0. |
переменная 3 | 0,3 916. | 0,0. | — 0,0391. |
переменная 4 | 7,16 667. | 0,5000. | 7,1666. |
Коэффициенты регрессии | 1,0. | 1,0. | 0,0000. |
Пересечение | 0,50 000. | ||
Контрольные вопросы
- 1. Какова роль метода главных компонент в факторном анализе?
- 2. Что такое ортогональные и ортонормированные функции?
- 3. Как вычисляется ковариационная матрица?
- 4. Какова связь ковариационной и корреляционной матриц?
- 5. Что означают собственные значения и собственные функции множества переменных?
- 6. Какова роль математического ожидания и дисперсии в оценке статистических характеристик случайного процесса?
- 7. Что такое уравнение регрессии?
- 8. Зачем привлекается условие минимума квадратов отклонений значений от линии регрессии?
- 9. В чем смысл и роль остаточной дисперсии в методе главных компонент?
- 10. Как вычисляется первая главная компонента?
- 11. На каком этапе можно остановиться при учете собственных значений и собственных функций?