Скалярное произведение. 
Понятие вектора

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю. вектор произведение координатное базис Скалярное произведение векторов и обозначается через [или; или ]. Если ц — угол между векторами и, то:

.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность:

.

2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

.

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

.

.

.

Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:

;; .

Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:

.

.

.

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

Величины называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно,.

.

Теорема: В ортонормированном базисе:

;

;

;

.

Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это самостоятельно.