Квантовые числа. 
Физика: оптика. 
Элементы атомной и ядерной физики. 
Элементарные частицы

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции Ч^/_я/#я, определяемые набором трех квантовых чисел: главного п, орбитального I и магнитного т.

Главное квантовое число п характеризует расстояние электрона от ядра — радиус орбиты.

Согласно (3.2.4), п определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы.

В атомной физике состояния электрона, соответствующие главному квантовому числу п (п = 1, 2, 3, 4, …), принято обозначать буквами К, L, M, N, … .

Орбитальное квантовое число 1 = 0, 1,2, 1 характеризует

эллиптичность орбиты электрона (рис. 3.2.3) и определяет орбитальный момент импульса электрона L.

Рис. 3.2.3.

Квадрат модуля функции l^² характеризует вероятность найти электрон в заданной точке. Область пространства, в которой высока вероятность обнаружить электрон (не менее 0,95), называют орбиталью. Основные типы орбиталей обозначают буквами s, /;, d, f … (от слов sharp, principal, diffuse, fundamental…).

Два тина орбиталей — s (одна орбиталь), р (три), — но которым «размазан» электронный заряд, показаны на рис. 3.2.4.

Орбитали часто называют подоболочками оболочек, поскольку они характеризуют формы разных орбит, на которых можно обнаружить электроны, находящиеся в одной оболочке (при заданном квантовом числе п).

Решая последовательно задачу об электроне в прямоугольной потенциальной яме, мы доказали, что энергия и положение электрона квантуются, т. е. принимают дискретные значения.

Решая уравнения Шредингера для атома, можно получить выражения для энергии, момента импульса и других динамических переменных электрона без привлечения каких-либо постулатов.

Рассмотрим (без вывода) движение электрона в потенциальном ноле U = -Ze² / г.

Обратимся вновь к стационарному уравнению Шредингера:

Рис. 3.2.4.

Это уравнение имеет решение при всех значениях полной энергии Е > 0, что соответствует свободному электрону. При Е < 0 электрон находится в потенциальном поле ядра:

Таким образом, энергия принимает дискретные значения, т. е.

квантуется (п= 1,2, 3, …).

Вывод такой же, как и в теории Бора, но в квантовой механике этот вывод получается как естественное следствие из уравнения Шредингера.

В квантовой механике широко используется понятие оператор. Под оператором понимают правило, посредством которого одной

Л Л.

функции (р сопоставляется другая функция/, т. е. / = ??<�р, где Q — символ обозначения оператора.

Используя оператор энергии (гальмитониан), стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде.

Воздействуя на волновую функцию Ч⁷, полученную при решении уравнения (3.2.5) оператором момента импульса (движение электрона вокруг ядра осуществляется по криволинейной траектории), можно получить выражение для момента импульса.

Для момента импульса в квантовой механике вводятся четыре опе;

Л ратора: оператор квадрата момента импульса L² и три оператора проек;

Л Л Л ций момента импульса на оси координат L_x, L_v, L_.

Оказалось, что одновременно определенные значения могут иметь лишь квадрат момента импульса и одна из проекций — на координатные оси. Две другие проекции оказываются при этом совершенно неопределенными. Это означает, что «вектор» момента импульса не имеет определенного направления и, следовательно, не может быть изображен, как в классической механике, с помощью направленного отрезка прямой.

л Решение уравнения Z²4' = L²4^/ является очень сложным. Поэтому ограничимся только конечным результатом.

Собственное значение орбитального момента импульса

где / - орбитальное квантовое число (/ = 0, 1,2, 1).

Если обратиться к привычной нам модели атома, то п характеризует среднее расстояние электрона от ядра (радиус орбиты), / - эллиптичность орбиты.

Из выражения для L видно, что орбитальный момент импульса электрона в атоме гоже квантуется.

Основным состоянием электрона в атоме водорода является 5-состояние. Если вычислить наиболее вероятное расстояние от ядра для электрона в 5-состоянии, получим /; =-^Ц- - это первый боровский ра;

те~

1 П²

диус (в СИ г, = —-г).

К ^т. ^е~

Для других значений п получим выражения, соответствующие боровским орбитам.

Боровские орбиты электрона представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.

По теории Бора, вероятность нахождения электрона при любых других значениях г, кроме г = /;, равна нулю (рис. 3.2.5).

Рис. 3.2.5.

Согласно квантовой механике, эта вероятность достигает максимального значения лишь при г = г_г Допускается нахождение электрона и на других расстояниях от ядра, но с меньшей вероятностью.