Движение электронного потока в вакууме. 
Взаимодействие с электрическим и магнитным полем

Движение электронного потока в вакууме. Взаимодействие с электрическим и магнитным полем Силы, действующие на заряженную частицу в электромагнитном поле. Закон сохранения энергии Электромагнитное поле (напряженность электрического поля Е, индукция магнитного поля В) в общем случае задается как функция от координат и от времени t.

На заряд q в электромагнитном поле действует сила F:

= q· [, (1).

где v — скорость заряженной частицы.

Выражение (1) справедливо при условии:

• — q — точечный заряд;
• — спином (собственным вращением) частицы можно пренебречь;
• — пренебрегаем релятивистскими эффектами (торможением частицы за счет излучения в неоднородном поле).

Траектория частицы может быть получена при решении уравнения движения.

(2).

где m — масса заряженной частицы В общем случае решение уравнения (2.2) является достаточно сложной задачей, однако некоторые практически важные случаи допускают аналитическое решение.

Выражение для силы (1) включает составляющую, которая называется силой Лоренца. Вектор перпендикулярен вектору скорости частицы и, следовательно, не может изменить абсолютное значение скорости частицы. Таким образом, магнитное поле не влияет на энергию частицы.

Предположим, что частица движется по траектории из точки 1 в точку 2. Умножив выражение (2) с подстановкой (1) скалярно на, получим.

. (3).

Второе слагаемое в (3) равно 0 в силу перпендикулярности векторов и .

Проинтегрируем выражение (3) вдоль траектории движения частицы.

(4).

После интегрирования получим.

. (5).

Если электрическое поле не зависит от времени (электростатическое), то можно ввести значение потенциала в точках 1 и 2 т. е. в начале и в конце пути. Частица с нулевой начальной скоростью (v1=0), перемещаясь из точки 1 с потенциалом U1 в точку 2 с потенциалом U2, приобретает энергию.

ДW =. (6).

При ДU= 1 В, ДW = 1 эВ = 1,6· 10−19 Дж. Единица эВ (электронвольт), являясь внесистемной, широко применяется в физике высоких энергий, атомной физике из-за удобства и наглядности.

Движение частицы в однородном, постоянном магнитном поле Рассмотрим вариант однородного (т.е. не изменяющегося в пространстве), стационарного (постоянного во времени) магнитного поля напряженностью. Силовой характеристикой магнитного поля, учитывающей влияние среды, является индукция магнитного поля = мм0(м — относительная магнитная проницаемость среды, м0 =1,26· 10−6 Г/ммагнитная постоянная). Пусть в магнитном поле с индукцией частица перемещается со скоростью, вектор которой направлен под углом б к вектору (рис. 1 а).

Рисунок 1.

Раскладываем вектор на два вектора и. Составляющая не оказывает влияния на величину силы Лоренца ([] = 0), тогда как чем больше, тем больше сила Лоренца, направленная перпендикулярно обоим векторам (и), тем больше искривление траектории. Сила Лоренца является центростремительной силой, заставляющей заряженную частицу перемещаться по спирали радиусом R и шагом h, направление завивки которой зависит от знака заряда частицы (рис. 1 б). Для тела, движущегося по окружности.

(7).

. (8).

Выражение (8) определяет так называемый ларморовский радиус (RL) вращения частицы в магнитном поле. Очевидно, что он зависит от массы частицы (ионы вращаются по значительно большему кругу), её поперечной составляющей скорости и интенсивности магнитного поля. Из соотношения определим период Т и циклическую частоту щ вращения частицы:

щ =. (10).

Здесь щL — ларморовская частота вращения частицы в магнитном поле. Характерной особенностью является то, что щL не зависит от скорости частицы. Это позволяет использовать данный принцип в ускорителях заряженных частиц — циклотронах (частицы, ускоряясь в электрическом поле, которое меняет свою полярность с постоянной частотой, одновременно закручиваются сильным постоянным магнитным полем. Частицы, увеличивают свою скорость и радиус вращения согласно (2.8), но не меняют частоту вращения щ = щL = частоте изменения электрического поля, попадая каждый раз в его ускоряющую фазу.

Таким образом, движение частицы, влетающей в постоянное магнитное поле под произвольным углом б, представляет собой сочетание равномерного перемещения частицы вдоль силовых линий поля со скоростью б и равномерного вращения по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля со скоростью б, т. е. общее движение — спираль с шагом.

h =. (11).

Движение заряда в неоднородном магнитном поле Рассмотрим вариант магнитного поля, изменяющегося вдоль направления поля, причем расстояние L на котором существенно изменяется значительно больше ларморовского радиуса R. Считаем также, что время между столкновениями заряженной частицы с другими значительно превышает период вращения частицы в магнитном поле. Итак, частица перемещается в сильном, медленно изменяющемся в пространстве и постоянном во времени магнитном поле. Тогда в области l<

Заряд q, движущийся по окружности, подобен контуру с током. Ток I, протекающий по контуру, можно выразить следующим образом: I = q/T, T — период вращения заряда. Площадь контура S = рR2, Т = 2рm/(qB),. Магнитный момент частицы м = I· S. После подстановки получим:

м =. (12).

На контур с током в неоднородном поле действует сила.

. (13).

В одномерном случае (частица движется вдоль оси х).

. (14).

Работа, совершаемая этой силой, равна.

. (15).

В магнитном поле Wполн = const. Тогда dWполн =0,,. Подставляя (12), получаем.

откуда.

(16).

и, после интегрирования,.

(17).

где М — так называемый адиабатический инвариант, т. е. величина, не изменяющаяся при перемещении частицы в неоднородном поле.

Следовательно, с нарастанием магнитного поля, растет и, уменьшается и, при некотором В=Вкрит,, т. е. поступательное движение частицы прекращается и она начинает двигаться обратно. Магнитное поле как бы выталкивает заряженную частицу из области сильного в область слабого поля. Поясним это, рассчитав изменение угла наклона б (см. рис. 1 а):

(18).

(19).

Учитывая, что v0 = const, подставляем (18) в (17) для двух положений частицы:

(20).

. (21).

При увеличении В растет и sin б и при В=Вкрит достигает 1. Соответственно cos б стремится к 0, б достигает 90о и частица, прекращая поступательное движение, начинает двигаться обратно, отражается. Условием отражения является равенство sin б =1 в точке В = Вмах. Тогда, учитывая (20), если — угол наклона траектории частицы и индукция магнитного поля в начальной точке, Вмах — предельная индукция поля), то частица пройдет точку максимума поля и полетит дальше. Если, частица отразится.

Магнитное поле, изменяющееся по величине вдоль направления движения частицы, может играть роль зеркала т. е. отражает заряженные частицы, причем точка отражения не зависит ни от рода частицы, ни от её энергии, а только от угла наклона траектории и индукции поля.

На этом принципе основаны ловушки для плазмы — прообраз термоядерного реактора. В природе естественные магнитные ловушки образует поле Земли, образуется ионосфера.

Действие пространственного заряда на электронный пучок Собственный объемный заряд пучка (состоящий из совокупности зарядов всех электронов, входящих в пучок) оказывает существенное влияние на токопрохождение (т.е. на движение электронов между электродами: катодом и анодом) в том случае, если электронный пучок имеет достаточно высокую плотность заряда (или плотность тока) при не очень высоких ускоряющих потенциалах. Такие пучки относятся к категории интенсивных пучков.

Для количественной оценки степени интенсивности пучков удобно использовать параметр Ре, называемый коэффициентом пространственного заряда или первеансом:

Ре = I/U3/2 [A/B3/2],.

где I — ток пучка, А;

U — ускоряющее напряжение, В, определяющее энергию частиц пучка.

Исследования показывают, что влияние собственного пространственного заряда начинает сказываться на характер движения электронов в пучке при Ре > 10−8 А/В3/2. Практически, для пучков с первеансом порядка 10−6 приходится не только учитывать расширение и другие негативные последствия влияния собственного заряда, но и разрабатывать специальные системы формирования и транспортировки. Это относится прежде всего к электронным пучкам приборов СВЧ (клистроны, лампы бегущей волны, лампы обратной волны и др.), в противоположность большинству электронно-лучевых приборов, где электронный пучок называют лучом из-за сходности траекторий электронов и фотонов в световом луче. В таких приборах влиянием пространственного заряда электронов на их траектории можно пренебречь (Ре << 10−8 А/В3/2).

Действие пространственного заряда для интенсивных пучков проявляется в следующем:

• — расширение пучка в свободном от поля пространстве;
• — падение потенциала в пучке;
• — ограничение тока пучка.

Теория плоского диода В общем случае решение задачи математического описания электронного потока в системе электродов достаточно сложно. Одним из простейших случаев, когда задача имеет аналитическое решение (с учетом некоторых допущений), является моделирование электронного потока в плоском диоде (система двух электродов, рис.2).

Будем считать, что катод и анод нашего диода (рис. 2) образованы двумя плоскостями, перпендикулярными плоскости рисунка, с координатами x= 0 (катод) и x=xa (анод). Потенциал на катоде считаем равным 0, на аноде — Ua. Тогда, если катод холодный (нет эмиссии электронов), распределение потенциала между электродами соответствует прямой 1. При нагретом катоде и наличии пространственного заряда (образованного эмитированными электронами) в межэлектродном промежутке, потенциал снижается, причем он может упасть ниже 0 в области максимума плотности заряда (координата x = xm). Образуется минимум потенциала Um — барьер для электронов. Этот барьер ограничивает ток пучка, так как медленные электроны с энергией меньше eUm не могут его преодолеть и возвращаются на катод.

1 -холодный катод, 2 — нагретый катод.

Рисунок 2

Основная зависимость, определяющая работу диода — вольт-амперная характеристика (ВАХ)(рис.3).

Рисунок 3. Вольт-амперная характеристика диода.

При фиксированной температуре катода (и, соответственно, плотности тока эмиссии), ВАХ имеет 3 области, отличающиеся характером протекающих физических процессов и соответствующих трем режимам работы.

В области I (Ua.

В области II (U1.

В области III (Ua > U2, напряженность поля везде положительна, минимум потенциала исчезает, режим насыщения) ток определяется эмиссией с катода (Ia = Ia нас = Iк). Все электроны, вылетевшие из катода, попадают на анод. Плотность пространственного заряда уменьшается из-за увеличения скорости электронов. Распределение потенциала в плоском диоде при фиксированной температуре катода и различных анодных потенциалах представлено на рис. 3.

Рассмотрим математическую модель плоского диода, представленного на рис. 2. С целью получения аналитического выражения для вольт-амперной характеристики, примем следующие допущения:

— расстояние между катодом и анодом значительно меньше поперечного размера этих электродов (т.е. пренебрегаем краевыми эффектами);

Рисунок 4.

• — начальные скорости электронов считаем равными нулю (т.е. пренебрегаем начальной энергией электронов). Это допущение приводит к тому, что минимум потенциала перемещается на катод (Um =0, xm = 0);
• — пренебрегаем контактной разностью потенциалов (ДцКонт =0), возникающей из-за различных материалов катода и анода, и изменяющей приложенное напряжение Ua на величину Дцконт ;
• — пренебрегаем изменением потенциала вдоль поверхности катода, которое особенно существенно для прямонакальных катодов;
• — считаем режим работы стационарным (изменение Ua за время пролета электронов между электродами значительно меньше значения Ua).

Таким образом, режим тормозящего поля исключается из рассмотрения, напряженность поля Е у катода не может быть меньше 0.

Выделим из электронного потока прикатодный слой сечением abcd (см. рис. 3.4), причем ad <

Рисунок 5.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса.

.

где е0 = [Ф/м], диэлектрическая постоянная;

е — относительная диэлектрическая проницаемость среды;

Q — заряд внутри области, ограниченной поверхностью S.

В нашем случае, пренебрегая площадью боковой поверхности слоя и считая е =1, получим.

= = ,.

=.

где t — время пролета промежутка ad;

I — ток пучка.

Движение электрона описывается уравнением.

= eE.

Подставив (3.3), получим.

= .

Интегрируем, учитывая граничные условия: t = 0, v (0) = 0, x (0) = 0,.

v (x) = = ,.

x = .

Находим время пролета.

t = .

Кинетическая энергия электрона определяется потенциалом U в точке его нахождения, поэтому скорость электрона.

v = .

Поделив получим выражение для t.

t = x/v (x) = =, которое подставляем:

I (x) = ,.

а для анодного тока (x = xa, I = Ia, U = Ua).

Ia = = P.

Закон степени 3/2 для диода описывает вольт-амперную характеристику в режиме пространственного заряда.

Для оценки условий работы диода как электронной лампы необходимо знать зависимости U = U (x), Ex = Ex (x), vx = vx (x), с = с (x).

Разделив учитывая, что I (x) = Ia, получим.

= .

E (x) = = ,.

а у поверхности анода Еа =, тогда как у «холодной» лампы Еа = Ua/xa.

Разделив Е (х) на Еа, получим.

= .

Учитывая, имеем.

= = ,.

Принимая во внимание то, что j = с (x)· v (x), а также получаем.

= = .

При выводе закона степени 3/2 был сделан ряд допущений. В реальном случае в формулу необходимо внести поправки, учитывающие влияние тех или иных неучтенных факторов. Учет влияния начальных скоростей электронов и контактной разности потенциалов Дцконт приводит к следующему выражению для тока[7].

Ia = 2,33· 10−6Sa,.

где Дцк — контактная разность потенциалов между анодом и катодом;

Um — глубина минимума потенциала;

xm — расстояние от катода до минимума потенциала;

Т — температура катода.

При Т = 1100 К для малых Ua (например Ua + ДцкUm = 10 В) формула дает результат, отличающийся на 26% от расчета по формуле, что нельзя игнорировать в практических применениях.

Характеристики и параметры реального диода Результаты экспериментов позволяют построить характеристики вакуумного диода с учетом всех действующих факторов. Анодные характеристики для различных температур катода Т представлены на рис. 5.

Рисунок 5 Семейство анодных характеристик диода.

На рисунке отмечен I — режим тормозящего поля, II — режим пространственного заряда, III — режим насыщения. Для реальных катодов, например для оксидного, на характеристике нет выраженного насыщения тока при высоких Ua, из-за дополнительного прироста эмиссии, существенно зависящего от поля у катода и, соответственно, от Ua. При меньших температурах катода Т насыщение наступает раньше (при меньших Ua) и более выражено (участок характеристики более пологий). Характеристику, близкую к идеальной (рис. 3), имеет диод с металлическим (например, вольфрамовым) катодом.

Эмиссионные (или накальные) характеристики диода строятся при фиксированных анодных потенциалах и изменении температуры катода Т или напряжения накала Uн (напряжения на подогревателе катода) определяющего эту температуру (рис. 6). При малых Uн ток практически равен 0, так как температура катода недостаточна для обеспечения эмиссии. После появления тока он резко нарастает (формула Ричардсона-Дешмана), при этом его значение почти не зависит от Ua (область IIIрежим насыщения). Начиная с некоторого значения Uн рост тока замедляется, наблюдается существенная разница в значении тока для различных потенциалов Ua (область II — режим пространственного заряда).

Рисунок 6 — Семейство эмиссионных (накальных) характеристик диода.

К статическим параметрам диода (параметры, определяемые по статическим характеристикам, рис. 5, 6) относят следующие:

• а) дифференциальные параметры:
  • 1) крутизна вольт-амперной характеристики

s = dIa/dUa = ,[A/B].

Крутизна численно равна тангенсу угла наклона ВАХ в рабочей точке (т.е. в точке на анодной характеристике с координатами Ia и Ua, соответствующими рабочему режиму);

• 2) внутреннее сопротивление Ri = 1/s;
• б) сопротивление постоянному току R0 = Ua/Ia;
• в) мощность рассеяния анода Ра мах (максимальная мощность в непрерывном режиме);
• г) междуэлектродная емкость Сак («холодная» — в отсутствие тока, и «горячая» — при протекании тока в рабочем режиме).

К динамическим параметрам относят перечисленные выше, но с учетом зависимости от частоты сигнала.

Расчет параметров диода по характеристикам. Нагрузочная характеристика

При экспериментальном исследовании вначале снимаются характеристики прибора, а затем по графикам характеристик определяют параметры. Пусть ab участок вольт-амперной характеристики диода (кривая 1) в окрестностях рабочей точки А (рис. 7). Размер участка ab не должен быть слишком малым (неудобно выполнять отсчет по осям, растет погрешность), но и не слишком большим, чтобы не сказывалась кривизна ВАХ. Фактически, ab должен совпадать с касательной к ВАХ в рабочей точке А. Строим прямоугольный треугольник abc, который называется характеристическим. Тогда крутизна ВАХ диода в точке, А определяется из соотношения.

s = = = ,.

где m, n — масштабы осей Ia и Ua (ампер или вольт на единицу длины).

Рисунок 7 — Определение параметров диода по анодной характеристике.

Сопротивление постоянному току R0 определяется в рабочей точке по приведенной выше формуле.

Если в цепь с диодом последовательно включен резистор Rн, нагрузочная характеристика диода (см. рис 7, прямая 2).

Ia = (Ea — Ua)/Rн, где Еа — напряжение источника питания.

Крутизна нагрузочной характеристики определяется тангенсом угла наклона прямой 2 к оси 0-Ua и равна 1/Rн, как видно из рис. 7.

электромагнитный заряд диод.

• 1. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики: учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 2007.
• 2. Ремизов А. Н., Потапенко А. Я. Курс физики: Учеб. для вузов. — М.: Дрофа, 2009.-720 с.
• 3. Савельев И. С. Курс общей физики: учебное пособие для студентов. — М.: Наука, 2007.
• 4. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Курс физики: учебное пособие для студентов. — М.: Высшая школа, 2007.
• 5. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. — М.: Наука, 2008.