Законы распределения. 
Статистическая проверка законов распределения

Нормальный закон распределения

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью [1, c.127].

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и .

Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а)По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,.

M (X)= [1,c.127].

Введем новую переменную z = (x—а)/??. Отсюда x=?z+a, dx=?dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим.

M(X)=[1,c.127].

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно а (интеграл Пуассона). [1,c.128].

Итак, М (X) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б)По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (X) =а, имеем.

D (X)= [1,c.128].

Введем новую переменную z = (x—а)/?у. Отсюда х—a = уz, dx = уdz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим D (X)=.

Интегрируя по частям, положив u = z, dv=, найдем D(X)=?у²?

Следовательно, у (X)=.

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру. [1,c.128].

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами, а и (> 0). Нормированным называют нормальное распределение с параметрами, а = 0 и =1. Например, если X — нормальная величина с параметрами, а и, то U =(X — а)/?у — нормированная нормальная величина, причем M(U)=0, у (U)=1.

Плотность нормированного распределения.

Эта функция табулирована (см. приложение 1). [1,c.128].

Замечание 2. Функция F (х) общего нормального.

а функция нормированного распределения.

Функция Fo (x) табулирована. Легко проверить, что F(x)=F₀((x-a)/ у). [1,c.129].

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0, х) можно найти, пользуясь функцией Лапласа.

P(0)= [1,c.129].

Замечание 4. Учитывая, что, и, следовательно, в силу симметрии у (х) относительно нуля, а значит, и Р (- < X < 0)=0,5,.

легко получить, что F₀(x)=0,5+(x).

Действительно,F₀(x)=P(-)=P(-0)+P(0)=0,5+(x). [1,c.129].