Идентификация и оптимальное по быстродействию управление линейными динамическими системами

Актуальность темы

Задача оптимального по быстродействию управления линейными динамическими системами занимает особое место среди задач оптимального управления. Ее решение основано на принципе максимума Л. С. Понтрягина и базируется на использовании моделей динамики в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Однако, если модель динамики является неточной, решение задачи оптимального быстродействия имеет существенную ошибку. Поэтому, актуальной является задача анализа моделей динамики в пространстве состояний, ориентированных на перевод динамической системы из одного состояния в другое за минимальное время. Такие задачи имеют исключительно важное значение для многих технических систем. Они возникают, например, при выводе потенциально опасных объектов из предава-рийных состояний.

Построение математической модели реальной динамической системы возможно на основе результатов либо пассивного, либо активного эксперимента. [79−81,93,141]. Методы пассивной идентификации к настоящему времени достаточно разработаны и продолжают развиваться. Современный уровень развития теории оптимального эксперимента позволяет сформулировать практически все задачи, решаемые методами пассивной регрессионной идентификации, в классе задач оптимальной идентификации. Важное значение при формализации и решении задачи оптимальной идентификации имеет структура динамической регрессионной модели идентифицируемой системы. Выбор структуры модели должен опираться, во-первых, на возможность адекватного описания динамических свойств системы в заданном интервале изменения входного сигнала, определяющем пространство планирования, во-вторых, на возможность решения с использованием синтезируемой модели конкретной прикладной задачи. В подавляющем большинстве случаев подобные структуры являются нелинейнопараметризованными. Многообразие подобных структур динамических регрессионных моделей требует использовать для оценивания их неизвестных параI метров современные статистические методы оценивания и регрессионного анализа.

Существенный вклад в развитие методов оценивания и регрессионного анализа внесли отечественные ученые Н. И Андреев, С. А. Айвазян, В.П. Боро-дюк, А. П. Вощинин, В. П. Живоглядов, А. Г. Ивахненко, Э. Л. Ицкович, В.В. Ка-фаров, В. И. Костюк, Г. К. Круг, A.A. Немура, Г. Ф. Филаретов [1,3−5,11,12,2427,36−39,67,73,74,76,81,83,84,88,90].

Имеются многочисленные публикации зарубежных авторов, посвященные разработке и применению методов планирования экспериментов, оценивания и регрессионного анализа, например, [ 10,20,59,60,62,86,161,162,168].

Существуют работы, посвященные, в основном, анализу использования тех или иных динамических моделей в конкретных прикладных задачах, например, [32,139].

Таким образом, совместное решение задач идентификации и оптимального по быстродействию управления на основе оценочныхмоделей динамики является актуальным.

Целью диссертационной работы является построение и исследование свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с анализом их пригодности для синтеза оптимального по быстродействию управления.

Методы исследования. В работе используются методы математической теории оптимального управления, теории последовательной оптимальной идентификации, регрессионного анализа, нелинейного оценивания, теории автоматического управления, теории матриц, теории алгоритмов, имитационного моделирования.

Научные положения, разработанные лично соискателем и научная новизна работы:

• Разработана методика анализа свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с позиций их пригодности для решения задачи оптимального быстродействия.

• Преодолены неопределенности решения обратных задач динамики по неточным моделям за счет выявления из множества альтернативных моделей наилучшей модели по отношению неразличимости.

•-Решена задача снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей.

• Методом имитационного моделирования доказано, что предложенный метод построения совместных доверительных областей для неизвестных параметров модели корректен.

Практическая ценность работы заключается в том, что проведенный анализ и разработанный на его основе комплекс программных средств обеспечивает реализацию методов: идентификации моделей пространства состоянийоценки пригодности модели (на основе отношения неразличимости) — снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областейприближенного решения задачи линейного быстродействия, что открывает широкие возможности для оптимального по быстродействию управления реальными техническими объектами, позволяя преодолеть неопределенности, порожденные использованием неточных моделей динамики.

Реализация результатов диссертационной работы. Тема диссертационной работы непосредственно связана с тематикой научно-исследовательских работ кафедры автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета.

Результаты работы использованы в процессе настройки технологического оборудования ООО «Радуга-3000», г. Тулав разработке систем управления ТУП ГНПП «Сплав», г. Тулапри проведении комплексных расчетов ГосНИП, г. Тулав учебном процессе на кафедре автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах;

1. 12-ая международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях», г. Великий Новгород (1999 г.).

2. Научно-практические конференции профессорско-преподавательского состава ТулГУ (г. Тула 1997 — 2000 г. г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 3 печатных работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов и заключения, изложенных на 117 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков, 17 таблиц, список использованной литературы из 172 наименований и 3 приложения.

2. 4. Выводы.

• Формализованы методы параметрической идентификации модели линейной динамической системы, анализа пригодности модели для синтеза оптимального по быстродействию управления, синтеза оптимального по быстродействию управления.

• Предложена методика анализа пригодности оценочной модели динамики для синтеза оптимального управления, основанная на построении совместных доверительных областей неизвестных параметров и исследовании неразличимости критерия для множества оценок неизвестных коэффициентов.

— 623. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ.

3.1. Структура и описание имитационной модели.

Для машинного моделирования на основе формализованных в предыдущем разделе методов параметрической идентификации, оптимального по быстродействию управления и анализа пригодности полученной модели, разработана их имитационная модель.

Структуру имитационной модели, реализующей приведенные методики, можно разделить на три основных модуля, по числу основных подзадач. Это модули идентификации, синтеза оптимального по быстродействию управления и модуль анализа полученной модели, который использует результаты работы двух вышеназванных модулей.

Для имитационного моделирования предложенного алгоритма используются вспомогательные модули:

1. Модуль работы с матрицами.

2. Модуль вычисления истинных ординат импульсной переходной функции.

3. Модуль вычисления истинного выхода модели.

4. Модуль генерации гауссова шума для зашумления истинного выхода модели.

5. Модуль интерфейса.

Начало.

Вычисление оценок ординат ИПФ I.

Определение ё0.

Вычисление.

— 1 а = - X.

2 • №П^п-И. где ?=0,1,2,3.

1{<1.

— Нет".

Да.

Конец.

Рис. 3.2. Схема алгоритма идентификации.

Процедура вычисления начальных оценок неизвестных параметров модели Л.

Алгоритм вычисления начальной оценки Со вектора неизвестных параметров С дискретной модели пространства состояний (2.2) может быть описан как последовательность следующих действий:

1.Реализуется «затравочный» эксперимент на базе О-оптимального тестирующего сигнала, построенного на основе ортогональных планов Плаккетта-Бермана (матрица плана Плаккетта-Бермана и соответствующий тестирующий сигнал подробно рассмотрены в 2.1). По полученным реализациям «входа-выхода» вычисляются оценки / ординат импульсной переходной функции идентифицируемой системы.

2.По оценкам /^п ординат (где п-порядок системы) определяется л начальное приближение С на основе соотношений (2.6),(2.7).

3.По итерационной формуле (2.22) вычисляется оценка вектора ч. неизвестных параметров модели С'0, ?=1,2,3,. При этом следует учитывать, что размерность вектора МНК-оценок ординат импульсной переходной, А функции ^ - /, х 1- размерности матрицы первых производных С>© и вектор-функции неизвестных параметров модели Ш© соответственно равны х 2п и V л —> х 1- при 1=1 значение С®принимается равным начальному приближению С0.

4.Добавляется А/ ординат импульсной переходной функции, то есть учитываются оценки /?+1 = /- + А/ ординат.

Пункты 3 и 4 выполняются до тех пор, пока выполняется условие /- < /. А.

В качестве искомой начальной оценки С0 вектора неизвестных параметров дискретной модели пространства состояний принимается значение л.

Со, полученное на последнем этапе алгоритма.

Программная реализация алгоритма вычисления начальной оценки вектора неизвестных параметров динамической модели приведена в приложении 2.

Рис. 3.3. Схема алгоритма синтеза оптимального по быстродействию управления.

Рис. 3.4. Схема алгоритма анализа пригодности полученной модели для синтеза оптимального по быстродействию управления.

Начало.

Рис 3.5. Укрупненная схема алгоритма работы комплекса программных средств.

— 693. 2. Комплекс программных средств для имитационного моделирования.

Техническое обеспечение.

Описание комплекса технических средств. Общие положения.

Исходными данными для выбора комплекса технических средств (КТС) служат информационные характеристики: общий объем информации, поступающий в систему для обработки, ограничивается возможностями вычислительной машинытребования, предъявляемые к решению задачи, информационное обеспечение деятельности по управляющим процессамустановленный временной регламент ответа на запрос — информационные характеристики решаемых задачвременные характеристики решаемых задач;

Комплекс программных средств работает на ПЭВМ типа IBM PC/AT под управлением операционной системы Win32 (Windows 95 и выше (98, NT)). При этом минимальный объем оперативной памяти 16 Мбайт, необходим также накопитель с жесткими магнитными дисками (НЖМД). *.

Структура комплекса.

Учитывая исходные данные решено реализовать систему на базе ПЭВМ. ПЭВМ позволяет существенно повысить эффективность работы пользователя архитектурными и техническими возможностями, а так же созданием комфортных условий работающему. Кроме того, работа с ПЭВМ не регламентирована расписанием, не требует вспомогательного персонала и полностью отдана в распоряжение пользователя. ПЭВМ надежны и малогабаритны.

Решено также использовать базовый комплект ПЭВМ типа ЮМ PC/AT, технические характеристики которой без проблем позволяют решать I поставленные задачи.

При проектировании и функционировании системы используется базовый комплект ПЭВМ ЮМ PC/AT, включающий следующие устройства: процессормонитор (дисплей) — накопитель на жестком магнитном диске (НЖМД) — накопитель на гибком магнитном диске (НГМД) — клавиатурапринтер;

Процессор ЮМ PC/AT, выполняющий управление компьютером, содержит: основной микропроцессор Intel Pentiumоперативную память, имеющую объем 16 МБэлектрические схемы (контроллеры), управляющие работой различных устройствпорты ввода-вывода;

Накопители на ГМД предназначены для записи и чтения информации с дискет емкостью 1.44 МБ. НЖМД, входящий в базовый комплект используемой4 ПЭВМ, предназначен для хранения информации большого объема, имеет емкость 540 МБ.

Дисплей предназначен для вывода на экран текстовой или графической информации. Тип используемого дисплея — SVGAон позволяет выводить информацию в графическом режиме — 640 * 480 пикселей и 256 цветов.

Клавиатура предназначена для ввода в компьютер информации пользователя и имеет соответствующую конфигурацию. Выбор КТС сделан на основе требований к решению задачи, ее информационных характеристик.

Оперативное запоминающее устройство (ОЗУ) служит для хранения временных массивов информации (носящих вспомогательный характер) во время работы системы.

Программное обеспечение.

Комплекс программных средств для реализации алгоритмов идентификации, синтеза оптимального по быстродействию управления и анализа полученной модели на пригодность для построения указанного управления разработан на Delphi 5.0 Enterprise Edition для операционных систем семейства Win32.

Система разработки Delphi базируется на языке Object Pascal, разработанном с учетом принципов объектно-ориентированного, модульного и структурного программирования, которые способствуют внедрению современной технологии программирования. Object Pascal обладает полным набором структурных типов данных, таких как простые переменные, массивы, файлы, множества, записи, записи с вариантами, ссылочные переменные, объекты.

Введение

структурных типов данных позволяет разрабатывать адекватные представления данных и манипулировать ими. Delphi также содержит большую библиотеку подпрограмм (VCL), значительно облегчающую разработку Win32-пpилoжeний, средства быстрой разработки программ.

При разработке комплекса программных средств использовались методы визуального проектирования, объектно-ориентированного и, в основе, модульного программирования, основой которого является декомпозиция программы и создание модулей, которые представляют собой небольшие программы, выполняющие ряд однородных по смыслу функций, взаимодействующие друг с другом по хорошо определенным и простым правилам. Декомпозиция используется для разбиения программы на компоненты, которые затем могут быть объединены, позволяя решить основную задачу. Каждый из модулей может разрабатываться с использованием различных языков программирования и средств операционной системы. После кодирования каждый модуль обрабатывается транслятором, который вырабатывает DCU-модуль.

В состав комплекса программных средств входят следующие программные модули:

Модуль regress (in 'Regress.pas') содержит процедуру model, которая формирует набор ординат импульсной переходной функции. Программная реализация алгоритма формирования ординат импульсной переходной функции приведена в приложении 2.

Модуль noises реализует функцию noisedmodeloutput, зашумляюшую истинное значение выходного сигнала, полученного по заданным тестирующему сигналу и ординатам импульсной переходной функции. Программная реализация алгоритма формирования выходного сигнала приведена в приложении 2.

Модуль ident реализует процедуру оценивания вектора неизвестных параметров модели пространства состояний на основе реализаций «вход-выход». Программная реализация алгоритма начального оценивания приведена в приложении 2!

Модуль hpll формирует доверительную область для вектора неизвестных параметров модели, реализует процедуры синтеза оптимального по быстродействию управления и анализа динамической модели. Программная реализация приведена в приложении 3.

Модуль matrix реализует процедуры и функции матричной алгебры. Разрботан для облегчения работы с векторами и матрицами. Программная реализация приведена в приложении 2.

Модуль graphroutines содержит реализацию процедур вывода графиков функций на экран, в частности, сплайн-аппроксимации (B-spline).

Модуль unitl содержит вызовы функций VCL Delphi 5 для организации графического интерфейса пользователя в среде Win32.

3.3. Результаты моделирования.

Доказательство корректности метода построения совместных доверительных интервалов методами имитационного моделирования.

Идентификация и построение доверительных областей проведено на примере линейной динамической системы 1-го порядка.

В качестве примера использовано типовое апериодическое звено 1-го порядка, описываемое передаточной функцией вида.

W (p) 1 (3.1) Тр + 1 где Т=2.0 с.

Истинное значение выхода в системе имитационного моделирования вычисляется следующим образом. Апериодическое звено 2-го порядка имеет импульсную переходную функцию (ИПФ) следующего вида:

W (t):

Ti-T2 f t eT' -eT2.

3.2) где к — передаточный коэффициент и ТЬТ2 — постоянные времени являются входными данными. На основе этих данных рассчитывается время переходного процесса Тп и значение шага дискретизации ск. Так как ИПФ (3.2) имеет 1-н экстремум, то можно найти значение 1тах, при котором она принимает максимальное значение. То есть необходимо приравнять к нулю первую производную.

Т1-Т2.

Т1.

Т, 1 —е Т, т2 У 0.

После решения этого уравнения получим: шах ^.

ЧТ2 У.

Т1Т2.

Т1-Т2.

3.3).

Далее определяется значение ИПФ в этой точке (W (tmax)) и рассматривается участок справа от 11пах до тех пор, пока ИПФ не затухнет до 10% от В результате получим время переходного процесса. Шаг дискретизации 61 определяется по формуле:

Т /.

3.4).

На значения истинного выхода модели был наложен аддитивный гауссовский шум со среднеквадратическим отклонением равным 0,01.

В результате проведенной параметрической идентификации получены следующие данные:

Значения вектора неизвестных параметров С = со1[0,7023- 0,5000].

— 102 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

По диссертационной работе можно сформулировать следующие основные выводы и результаты:

1. Проведен обзор и анализ методов идентификации и оптимального по быстродействию управления линейными динамическими системами. На базе анализа состояния проблемы оптимального управления по неточным моделям динамики показана целесообразность примененных в работе методов последовательной оптимальной идентификации, построения совместных доверительных областей для неизвестных параметров модели, решения задачи линейного быстродействия и поставлена задача анализа пригодности модели для синтеза оптимального по быстродействию управления.

2. Разработана методика исследования свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с анализом их пригодности для синтеза оптимального по быстродействию управления на основе отношения неразличимости.

3. Преодолены неопределенности решения обратных задач динамики по неточным моделям за счет выявления из множества альтернативных моделей, моделей, удовлетворяющих отношению неразличимости.

4. Решена задача снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей.

5. Методом имитационного моделирования доказано, что предложенный метод построения совместных доверительных областей неизвестных параметров модели корректен.

6. Разработан инструментарий для исследователя (разработчика) систем управления, представленный в виде комплекса программных средств, обеспечивающего автоматизацию примененных методов последовательной оптимальной идентификации, оценки пригодности модели (на основе отношения неразличи.

— 103 мости), снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей, приближенного решения задачи линейного I быстродействия, что открывает широкие возможности для оптимального по быстродействию управления реальными техническими объектами, позволяя преодолеть неопределенности, порожденные использованием неточных моделей динамики.

7. Прикладные результаты диссертационной работы внедрены в процессы настройки технологического оборудования ООО «Радуга-3000», г. Туларазработки систем управления ГУЛ ГНПП «Сплав», г. Тулапроведения комплексных расчетов ГосНИП, г, Тула.

— 104.