Математическое моделирование технологических процессов: На примере автоэпитаксии кремния

Одной из важных для современного состояния технологической и производственной базы в России проблем является проблема получения высококачественных эпитаксиальных слоев для приборов силовой электроники. Уже наблюдаемое и прогнозируемое в будущем увеличение объема производства отечественных приборов силовой электроники требует, в частности, совершенствования технолого-экономических показателей процесса автоэпитаксиального наращивания толстых кремниевых слоев. Вопросы математического моделирования процесса автоэпитаксии именно толстых слоев сравнительно слабо изучены, поскольку основное внимание исследователи уделяли тонким бездефектным слоям, что неудивительно, ведь магистральным направлением развития современной микрои наноэлектроники является уменьшение размеров элементов ИС. Для снижения себестоимости процесса автоэпитаксии толстых (10-ЮОмкм) слоев необходимо достичь высоких скоростей роста.

В промышленном производстве широко применяется хлоридный метод, в котором в качестве кремнийсодержащего соединения используется тетрахлорид кремния (SiCU) или трихлорсилан (SiHCb). В настоящее время активно разрабатывается высокоскоростной гидридный метод (SiH4). По ряду причин он еще не получил промышленного применения. Недостатков гидридного метода лишен дихлорсилановый метод (SiH2Cl2), позволяющий достичь сравнительно высоких скоростей роста.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование процесса автоэпитаксии толстых (10−100мкм) слоев кремния дихлорсилановым методом с учетом как физико-химических, так и экономических аспектов. Кроме того, для более эффективного проектирования технологических маршрутов создания, в частности, приборов силовой электроники представляет интерес имитационное моделирование. Такая модель должна учитывать изменение сложной структуры кремниевой пластины в ходе выполняемых над ней операций технологического маршрута, например, автоэпитаксии кремния. Для реализации поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

— создание математической модели для скорости роста кремниевых эпитаксиальных слоев в дихлорсилановом методе;

— оценка с помощью данной модели неоднородности эпитаксиального слоя по толщине при заданных предположениях о распределении температурных и концентрационных полей в эпитаксиальном реакторе;

— оптимизация технолого-экономических параметров проведения автоэпитаксиального наращивания толстых кремниевых слоев при достижении необходимых показателей качества и степени их воспроизводимости;

— на основе проведенной оптимизации создание циклограммы процесса автоэпитаксии толстых слоев.

Таким образом, объектом исследования является физико-химические процессы, происходящие в реакторе цилиндрического типа при автоэпитаксии кремния дихлорсилановом методом. Предметом исследования является разработка математической модели для оптимизации технолого-экономических параметров проведения эпитаксиального процесса при получении толстых кремниевых слоев. Помимо традиционных математических методов исследования (обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительные методы решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, классическое вариационное исчисление и принцип максимума Понтрягина) был использован аппарат теории нормальных алгорифмов А. А. Маркова.

В Главе 1 сделан обзор литературы по теме диссертации. Вначале проанализирована патентная литература, затем сделан обзор публикаций (статьи и монографии) по автоэпитаксии кремния хлоридным методом. Сразу заметим, что с точки зрения физической химии дихлорсилановый метод представляет собой разновидность хлоридного метода, хотя и обладает спецификой. Затем даны используемые нами результаты теории нормальных алгорифмов и теории родов структур. На языке первой в п. 3.4. будет сформулирована имитационная модель, на языке второй в п. 3.3. будет проведен анализ понятий, связанных с технологией и, в частности, технологическим маршрутом.

В п. 1.1 приведен обзор патентной литературы. Первое направление патентной литературы связано с усовершенствованием установки для эпитаксии, второес достижением роста эпитаксиальных слоев с заданным качеством, третьес общими методами более эффективного их роста, четвертоес получением слоев для приборов специального назначения. Анализ патентной литературы показывает, что несмотря на небольшую долю патентов, связанных с автоэпитаксией толстых слоев, среди современных патентов, относящихся к автоэпитаксии кремния и молекулярно-лучевой эпитаксии, проблема, поставленная в диссертации, актуальна в мире по-прежнему.

Рассмотрим вначале значение автоэпитаксии кремнии для технологии производства микросхем. Процесс эпитаксии применяется при изготовлении биполярных, БиКМОП и КМОП микросхем. Кроме того, использование эпитаксии для КМОП-схем позволяет за счет специально формируемого высоколегированного скрытого слоя эффективно решить проблему паразитной тиристорной структуры (эффект «защелки»). Еще одним положительным эффектом применения эпитаксии является геттерирующий эффект скрытого слоя относительно микропримесей металлов, имеющихся в подложке. Эпитаксиальный слой для КМОП и БиКМОП СБИС характеризуется следующими основными требованиями [63]: -диапазон толщин 1.5−5мкм с разбросом 3% -диапазон удельного сопротивления 0.5−5 Ом*см (5%) -плотность дислокаций <1см2 -отсутствие линии скольженияпривнесенный прогиб <20мкм.

— привнесенная дефектность (для частиц с размером >0.2мкм) <0.05см. Для мощных транзисторов важно также определенное значение удельного сопротивления толстого эпитаксиального слоя. Применение двухстадийного роста позволяет получить слои n-типа проводимости с удельным сопротивлением 45−50 Ом*см и р-типа проводимости с удельным сопротивлением до 80 Ом*см. При толщине эпитаксиального слоя, образующего базу транзистора, 50 мкм такой прибор может выдержать пиковые напряжения от 900 до 1000 В. Действительно, пусть Wn— ширина пслоя, WCb— ширина n-слоя, ХоЬ— ширина обедненной области [мкм], N— л концентрация примеси в обедненной области [cm" ], Up— напряжение пробоя [В]. Тогда справедлива взаимосвязь [31]: ГИ = х0б = 2.15- 1(T2?/J'6, Up = 5.3- 10 137Г¾. При изготовлении силового прибора часто делают не п+—р—п структуру, а п+—р—п—п+ структуру, или даже п+—р—n—if—п+. Буферный слой n-типа в коллекторе нужен для защиты транзистора от обратного вторичного пробоя.

В п. 1,2 проанализирована остальная литература, посвященная автоэпитаксии кремния хлоридным методом (по материалам статей и монографий), в особенности, вопросам моделирования. Здесь мы сочли возможным остановиться подробнее на конструктивно-технологических и экономических вопросах проведения данной технологической операции. Отметим, что именно вопросы снижения себестоимости выступают на первый план при автоэпитаксии толстых слоев, в то время как при автоэпитаксии тонких слоев наибольшее значение имеют вопросы качества (кристаллическое совершенство, заданный профиль легирования примесью эпитаксиального слоя).

В п. 1.3. даны основные определения и результаты теории нормальных алгорифмов А. А. Маркова. Необходимость этого связана с тем, что некоторые принципиальные особенности технологии не выражаются простым образом на языке теории множеств. Рассмотрим пример. Предположим, поставлена задача описать структуру некоторого ассортимента тортов. Кулинар умеет делать следующие слои: шоколада, масла, коржа. Естественно ввести множество слоев, состоящее из трех элементов: Х={а, Ь, с}. Приверженец теории алгорифмов аналогично введет алфавит А={а, Ь, с}. Структуру торта он опишет словом «сЬса» (если торт «считывать» снизу вверх). Для теории множеств законна структура {а, Ь} (подмножество X), она неотличима от {Ь, а} (если не вводить кортежи), от первых двух неотличима структура {а, Ь, а}, и уж совсем непонятна конструкция {с, Ъ, с, а} (в ней явно 4 элемента, но во всяком подмножестве элементов не больше, чем в множестве). Есть, правда, конструкция булеана, и ассортимент тортов можно в принципе описать родовой структурой DeB (NxX), Nмножество натуральных чисел, Воперация взятия булеана (множество всех подмножеств) данного множества, хзнак декартова произведения. На эту структуру требуется также наложить ряд ограничений. Кроме того, есть понятие мультимножества, в котором разрешается одному и тому же элементу множества присутствовать в нем несколько раз. Очевидно, что это весьма сложный путь, и легче и удобнее работать со словами в алфавите А. Кроме этого аспекта, теория алгорифмов позволяет естественным образом учесть процессный аспект технологии. Схеме алгорифма и исходному слову, к которому он применяется, мы поставим в соответствие совокупность «ноу-хау», которыми владеет предприятие (с экономической точки зрениянематериальные активы) и реальное состояние производственной базы. Такой способ наиболее предпочтителен. По нашему мнению, непродуктивно другое соответствие: схема алгорифма —> запись технологического маршрута, исходное слово —> субстрат. Формулировку имитационной модели на языке теории нормальных алгорифмов должен предварять понятийный анализ технологии микроэлектроники. С целью установления математически строгой взаимосвязи между понятиями (технологическая операция, субстрат, технологический маршрут, процент выхода годных изделий и т. п.) в диссертации использованы результаты по концептуальному анализу научной школы С. П. Никанорова. Поэтому в п. 1.3. даны элементы теории родов структур, техника которой активно применяется этой школой.

Глава 2 посвящена в основном вопросу автоэпитаксии толстых слоев кремния дихлорсилановым методом и развертывает содержание п. 1.1−1.2. Практическое значение диссертационной работы связано в большой степени с результатами этой главы. В п. 2.1 мы рассмотрим физико-технологические особенности нанесения толстых слоев и предложим циклограмму дихлорсиланового метода для этого случая, обосновав его преимущества по сравнению с прототипом. Отметим, что неформальным образом этот пункт обосновывает оптимизационную задачу п. 2.4. Для количественного анализа проблемы автоэпитаксии толстых слоев мы вынуждены рассмотреть в п. 2.2−2.3 вопрос о скорости роста для дихлорсиланового метода вообще. С точки зрения термодинамики численное значение скорости роста может быть получено через рассмотрение констант равновесия ряда химических реакций, протекающих в системе Si-H-Cl. Однако уже для хлоридного метода этого недостаточно, поскольку экспериментальные данные не всегда совпадают с расчетными теоретическими. Особенно это проявляется в случае больших концентраций хлорсиланов и больших значений линейной скорости потока газа, что имеет место при автоэпитаксии толстых слоев кремния. Данное ограничение справедливо и для диффузионной модели Франк-Каменецкого, учитывающей газодинамику в реакторе. В п. 2.2 приведена модель для скорости роста при автоэпитаксии дихлорсилановым методом, где особое внимание уделено учету кинетики реакций на поверхности. Был использован метод квазистационарных концентраций, позволяющий заменить дифференциальные уравнения алгебраическими. Важнейшим результатом здесь является полученная алгебраическая зависимость скорости роста от концентрационных и аэродинамических параметров проведения процесса. В п. 2.3 на основании кинетической модели, изложенной в п. 2.2, и нескольких простых соображений проанализирован вопрос о неоднородности толщины эпитаксиального слоя по пространственной координате (расстояние от входа ПГС). Оценка воспроизводимости толщины эпитаксиального слоя имеет важное производственное значение и обычно весьма сложна. Здесь мы рассматриваем этот вопрос при значительных упрощающих предположениях. Существенным образом воспроизводимость толщины эпитаксиального слоя зависит от конструкции конкретного реактора. В диссертации сделан расчет для установки «Эпиквар-101М». Тем не менее, модель применима для широкого круга установок (не только цилиндрического, но и горизонтального типа). В модели учтен эффект сгущения, о котором часто забывают исследователи. Этот эффект заключается в увеличении плотности ПГС в каждом поперечном сечении в нижней части реактора цилиндрического типа, хотя общая масса кремния там и падает. Модель сформулирована в виде задачи Кош и для трех дифференциальных уравнений. Она может быть расширена за счет дополнительных слагаемых в правой части уравнений, учитывающих, например, осаждение ряда соединений кремния на стенки реактора. В п. 2.4 продемонстрирована возможность применения классического вариационного исчисления при оптимизации процесса автоэпитаксии толстых слоев. Тем самым техническое решение, предложенное в п. 2.1., получает более строгое экономическое обоснование через решение оптимизационной задачи. При формализации данной задачи ключевое значение имеет зависимость скорости роста эпитаксиального слоя от температурно-концентрационных параметров процесса, и здесь мы использовали выражение для скорости роста, выведенное в п. 2.2. В модели оптимизируются суммарные затраты (в финансовом выражении) на проведение автоэпитаксии толстых слоев. Функционал представляется в виде линейной комбинации расходуемых материалов, энергии и времени, коэффициенты которой суть цены на соответствующие ресурсы. В последнем случае цена трактуется как упущенная выгода при невозможности выпуска требуемого рынком (конкретным заказом) объема продукции. Среди ограничений на область изменения переменных присутствуют помимо очевидных следующие: конечность скорости нагрева (остывания) установки, требование монокристалличности эпитаксиального слоя (при несогласованных с температурой процесса высоких скоростях роста ухудшается качество кристаллической структуры осаждаемой пленки). Задача сводится к изопериметрической задаче Больца классического вариационного счисления с неполностью закрепленными концами. Поскольку два из трех управлений кусочно-непрерывны, то она была нами переформулирована в терминах теории управления. При ее решении использовался принцип максимума Л. С. Понтрягина. Численное решение задачи оптимального управления состояло из нескольких этапов: а) поиска экстремума функции трех переменных в ограниченной области (метод штрафа, метод наискорейшего спуска из трех начальных приближений) — б) поиска решения задачи Копта для заданных и сопряженных им переменных при произвольных фиксированных начальных условий (метод Эйлера с шагом «вперед») — в) поиска корней двух нелинейных алгебраических уравнений, предполагаемый методом стрельбы при решении краевой задачи (метод наискорейшего спуска для поиска минимума суммы квадратов отклонений).

В Главе 3 после предшествующего анализа понятий, связанных с технологией микроэлектроники, формулируется и теоретически исследуется имитационная модель технологического маршрута. Попытки анализа технологий делаются, начиная с 30-х годов ХХ-го века, но все они достаточно разрозненны и имеют сильный уклон в сторону приложений. В современных работах технология, как правило, рассматривается как объект управления, как кибернетическая система. Например, в [55] среди технологий выделяются «высокие технологии» (именно они интересны с точки зрения АСУ!), им дается следующее определение: «.такие технологии, в которых для получения высококачественного чистого продукта необходимо обеспечить минимальные объемы циркуляции, т. е. уровень стабилизации обратных связей должен приближаться к уровню устойчивости прямых связей». Указывается также, что «сложные неустойчивые физико-химические процессы, закономерности которых либо крайне трудно установить, либо в данных технологиях невозможно понять из-за отсутствия системы измерения и необходимых методов стабилизации таких процессов» определяют наличие высокой технологии. В ряде работ технология рассматривается с позиций организации производства [54,56,58], где учитывается объем незавершенной продукции, проблемы выпуска новой продукции (через научно-технические проекты). В [52] для формализации многофакторного производства применяется теория распознавания образов, и это перекликается с рассматриваемой нами проблемой структуры. В п. 3.1. рассматриваются проблемы технологии СБИС, связанные со сложным представлением структуры субстрата (полупроводниковой пластины), на примере реальных технологических маршрутов. В п. 3.2. выделены и охарактеризованы пять уровней описания технологии: «технологическая операция», «технологический маршрут», «технологический (производственный) процесс», «технология», «система технологий». Технологический маршрут, например, составлен из технологических операцийтехнологический процесс составлен из технологических маршрутов, реализуемых на данном предприятии. В п. 3.3. приведены понятийные схемы для каждого уровня описания технологии. В п. 3.4. сформулирована математическая модель изменения структуры субстрата при проведении технологических операций, доказан ряд теорем для предложенного алгорифма, в частности, получена оценка сложности его работы. Эти результаты могут быть использованы для разработки более эффективного технологического САПР.

В Приложениях приведены результаты численного расчета по трем моделям, изложенным в Главе 2, а также листинг программ.

Заключение

.

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие научные и практические результаты:

1. Предложена математическая модель, связывающая скорость роста эпитаксиального роста с концентрациями газов, подаваемых в реактор, константами химических реакций, протекающих на поверхности пластины, и другими величинами;

2. Произведена оценка неоднородности толщины эпитаксиального слоя по длине реактора с помощью решения задачи Коши для системы трех дифференциальных уравнений;

3. Сформулирована и частично решена изопериметрическая задача Больца для поиска того технологического режима в дихлорсилановом методе, который бы уменьшал длительность процесса и вел к экономии энергии и материалов;

4. Созданы программы для ЭВМ, реализующие в форме параметрического семейства кривых указанные в трех предыдущих пунктах модели;

5. На основании сделанных расчетов (по моделям) предложено техническое решение, определяющее параметры проведения процесса эпитаксиального наращивания толстых (10−100 мкм) высокоомных кремниевых слоев на низкоомную подложку.

Сформулирована имитационная модель технологического маршрута на языке теории нормальных алгорифмовдля алгорифма, используемого в модели, дана оценка сложности работы.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в следующем:

1. Уточнена зависимость скорости роста эпитаксиального слоя в дихлорсилановом методе от кинетических констант;

2. Получена количественная оценка вклада различных факторов, в частности эффекта сгущения, в величину неоднородности эпитаксиального слоя по длине реактора;

3. С использованием методов вариационного исчисления и принципа максимума проведен анализ конкретной задачи оптимизации параметров технологического режима для автоэпитаксии толстых кремниевых слоев;

4. По сравнению с прототипом с помощью предложенного технического решения достигнута более высокая скорость роста (7−8 мкм/мин) эпитаксиального слоя;

5. Применена теория нормальных алгорифмов для формализации технологического маршрута.

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что результаты численного расчета по уравнению кинетической модели и оценка неоднородности толщины эпитаксиальной пленки, выполненная по кинетической модели соответствуют приводимым в литературе экспериментальным данным.

Практическая полезность, полученных в диссертации результатов, состоит в экономическом эффекте предлагаемого технического решения, выражающемся в 40%-м уменьшении финансовых затрат на проведение автоэпитаксии толстых кремниевых слоев. Модель и следствия из нее могут быть использована для совершенствования управления скоростью роста при различном количественном составе газовой смеси (система Si: Н: С1: инертный газ). Практическая значимость теоретических результатов, полученных при формализации технологического маршрута, состоит в возможности их использования для более эффективной разработки технологического САПР.

Апробация работы проходила на 1,2,3-й научно-технических конференциях АООТ «НИИМЭ и Микрон» (Зеленоград, апрель 1998;2000гг), на 2-й научно-технической конференции «Кремний-2000» (Москва, февраль 2000 г.), на XXXIX, XL, XLII научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, ноябрь 1997;2000гг). Разработанные в диссертационной работе решения используются в серийном производстве при выпуске эпитаксиалъных структур.

По материалам диссертации были опубликованы 17 работ, из них 9 статей и 8 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения, 9-ти Приложений и Списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 103с. (без Приложений).