Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках

Актуальность темы

.

В последнее время интерес к теории многочленов, ортогональных на дискретных сетках сильно возрос, она получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Это вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье—Уолша, дискретного преобразования Фурье и т. д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМпри решении интегральных и дифференциальных уравнений и т. д. Большая часть этих приложений приводят к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов.

К примеру, в прикладных и теоретических исследованиях часто применяются разложения в ортогональные ряды. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = f (t) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы {срп} требуется оценить отклонение частичной суммы Sn (f) — Sn (f, t) ряда Фурье функции / по системе {</?п} от самой функции /.

Приведенная задача стара, хорошо известна и детально изучена для многих классических ортонормированных систем. Тем не менее, оставался ряд классических ортонормированных систем, часто применяемых на практике в качестве базисов, для которых указанная задача почти не была исследована. Это — классические многочлены, ортогональные на сетках. Именно идея применения ортогональных разложений для обработки дискретной информации привела П. Л. Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов.

Основной причиной того, что задача о приближении функций суммами Фурье по классическим ортогональным на сетках многочленам оставалась не решенной, явилось отсутствие исследований по асимптотическим свойствам самих ортогональных многочленов дискретной переменной. И здесь, следует заметить, что исследованию этой задачи посвящены многочисленные работы И. И. Шарапудинова.

Пусть Q = {xq, xi,., Xj,.} — сетка — дискретное множество, состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек действительной прямой R: Жо < Х < Хч < ., М =| Q | —мощность множества Г2, р = р (х) — вес — положительная функция, заданная на множестве Q, и удовлетворяющая условию l2(Cl, p) — пространство функций / = f (x), заданных на для которых pjf2(xj) < °°>

XjEQ где pj = p (xj).

Предположим, что хп G I2для любого п из = {0, 1, 2,.}. Тогда к системе функций {жп} (0 < п < М) применим процесс ортогонализации Грама—Шмидта. В результате получаем систему многочленов рп (х) =рп (х]П, р)}, 0 < n < М, (1) обладающую следующими свойствами:

1) deg рп (х) = п;

2) HXienVn{xj)Vm{xj)Pj = Snm, (5птп — символ Кронеккера). Система многочленов (1), обладающая свойствами 1) и 2) называется ортонормированной с весом р (х) на дискретной системе точек Г2, а сами многочлены рп (х) (0 < п < М) — ортонормированными с весом р{х) на О. Многочлены Тп (х) = спрп (х) (0 < п < М), отличающиеся от рп (х) постоянным множителем сп ф 0, называются ортогональными с весом р{х) на дискретной системе точек Г2. Аналогичная система многочленов для конечного М впервые была введена и подробно исследована в целом ряде работ П. Л. Чебышева в связи с задачами математической статистики. Особое внимание им было уделено случаю.

Г (а- + /3 + 1) T (N — х + а) r (x + l) r (Nх) р (х) где с — постоянная, Т (х) — гамма—функция Эйлера: оо.

ГО) = J е-Нх-г dt.

Получаемые в этом случае ортогональные многочлены (Чебышева) обозначим через N), 0 < п < N — 1. Для определенности будем считать п + а п j.

П.Л. Чебышев показал, что многочлены N), имеют следующее представление:

N) = ДП П — } ' (2) где s (x) = sN (x, a) = s{N + а — х), Af (x) = f (x + 1) — f (x), An = = A (An1). Очевидно, (2) является разностным аналогом хорошо известной формулы Родрига для многочленов Якоби.

Пп 1 нп п2п к (х) dx где к (х) = (1 — :с)а (1 + ж)'3, сг (х) — 1 — х2. В этом смысле многочлены Чебышева Тп{х) = N), являются дискретными аналогами многочленов Якоби. Из формулы (2) вытекает разностное уравнение s (x) = А2Тп (х — 1) + 7(х)АТп (х) + ЛТп (х) = 0, (3).

7(ж) = {/3 + 1)(N — 1) — (а + /3 + 2) х, А = п (п + а + 0 + 1)) для Тп (х) = N), представляющее собой дискретный аналог дифференциального уравнения т (х)у" {х) + ф) у'(х) + Хпу (х) = 0 {ф) = /3-а-(а + (3 + 2) ж), для многочленов Якоби у (х) =.

В работах А. А. Маркова, Шарлье, М. Ф. Кравчука, Мейкснера, Хана и других изучались системы ортогональных многочленов дискретного переменного, различающиеся выбором сетки О и веса р{х). В частности, подробно исследовались разностные свойства дискретных аналогов классических многочленов Эрмита и Лагерра — многочленов соответственно Кравчука и Мейкснера.

Многочлены М. Ф. Кравчука К?(х) определяются сеткой и весом р{х)= {^)< g < 1) биномиальным распределением), а многочлены Мейкснера М?(х) = М%(х, q) — сеткой.

Q = Z+ = { 0,1,2,.} и весом р{х) = р (ха, д) = + «^(lq)a+1 (0 < q < 1). (4).

Кроме того, в работе Шарлье [49] была рассмотрена система многочленов S%(x) (п = 0,1,.), ортогональных с весом р (х) = г^Т1) (а>0) распределением Пуассона) на множестве О = Z+, для которых отсутствует непрерывный аналог среди классических ортогональных многочленов.

Каждая из указанных трех систем многочленов — Кравчука, Мейкснера и Шарлье — может быть получена из разностного аналога вида (2) формулы Родрига при соответствующем выборе веса р (х) и многочлена в (ж). Все они удовлетворяют также соответствующим разностным уравнениям вида (3). Эти свойства характеризуют [50] рассмотренные четыре классические системы многочленов Чебышева, Шарлье, Кравчука и Мейкснера в том смысле, что всякая система {Рп (^)} ортогональных многочленов, удовлетворяющая одному из них, линейной заменой переменной приводится к одной из указанных классических систем.

Дальнейшее развитие теории многочленов, ортогональных на дискретных системах точек, связано с работами Хана, Вебера и Эрдейи, Карлина и Мак—Грегора, Дельсарта, Аскейа и Вильсона,.

Никифорова А.Ф., Уварова В. Б., Суслова С. К. и многих других математиков и физиков. Были получены многочисленные приложения многочленов, ортогональных на дискретных системах точек к генетике, теории кодирования, комбинаторной теории, квантовой механике, математической статистике, к практике обработки сигналов спектральными методами.

Известны различные связи указанных многочленов с другими специальными функциями. В частности, еще в работах П. Л. Чебышева отмечалось, что при N —> оо для фиксированного п имеет место равномерная относительно х из произвольного фиксированного компакта комплексной плоскости асимптотическая формула: Т.

Л. /V а,/3 п.

N-1 l+x), N п.

5) vn’N (x) ~^ О ПРИ А7″ —> оо и фиксированном п). Аналогичная связь имеется между многочленами Мейкснера М%(х) и Лагерра L" (x):

К (Nx, с = Щх) + <�"(:),.

6) где v%N (x) —> 0 при N —> оо (п фиксировано). Наконец, многочлены Кравчука К^{х) связаны с многочленами Эрмита соотношением.

Кр

2ппу/2 где q = 1 — р, v^N (x) —> 0 при N —> оо.

Для многочленов Шарлье S°(x) нет аналогов среди непрерывных классических ортогональных многочленов, и мы не можем указать асимптотическую формулу, содержащую в главной части непрерывные классические ортогональные многочлены. Однако имеется следующая связь с многочленами Лагерра: (-1 r^Lf.

Uj а).

8).

Асимптотические формулы (5) — (7) показывают, что при фиксированном п асимптотические поведения модифицированных многочленов Чебышева Т^ (1 + х), N], Мейкснера.

M%(Nx, e-VN) и Кравчука 2 K%(Np + ^/Шщх) близки к асимптотическим поведениям соответственно многочленов Якоби, JIareppa и Эрмита.

Однако отсюда нельзя извлечь никакой информации об асимптотических свойствах Т^{х), M®N (x) и K^N (x) в том случае, когда степень п растет (вместе с параметром N). Этот вопрос часто возникает в связи с приложениями указанных многочленов, но до недавнего времени он оставался в стороне. Целенаправленное его изучение было проведено в работах Шарапудинова И. И. [28]—[48]. Задача состояла в том, чтобы получить такие оценки для остаточных членов v%N (x) и v^N{x) асимптотических формул (5) — (7), из которых и известных весовых для классических многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита вытекали бы неулучшаемые по порядку при п —> оо весовые оценки для многочленов T^(x), M^N (x) и K^N (x) стремясь одновременно к тому, чтобы эти оценки оставались верны при минимальных ограничениях на рост степени п в зависимости от N. Поставленную задачу удалось решить окончательно для многочленов Чебышева Т^{х) в случае, когда, а и (3 целые числа, и для многочленов Мейкснера M%N (x) — при произвольном а. Для многочленов Чебышева Т^{х) с целыми, а и /? возникло ограничение п = 0(y/~N), являющееся своего рода «водоразделом» для их асимптотического поведения в следующем смысле: если п < aVN (а > 0), то для Т^(х) справедлива такая же весовая оценка, что и для многочленов Якоби причем, равномерно относительно 0 < п < ал/iV (N —> оо) — 2 если же ^ —> оо, то такой оценки нет.

Аналогичное утверждение для многочленов Мейкснера M®N (x) имеет место при п = O (VN). В главе 5 монографии [45] приведены некоторые результаты об асимптотических свойствах многочленов Кравчука K^ N (x). Эти результаты не носят окончательного характера и нуждаются в существенном улучшении как в смысле ослабления ограничения на рост степени п по отношению к росту параметра N, так и в смысле получения более точной оценки остаточного члена v^N (x) асимптотической формулы (7).

В настоящей же работе (в главах 2 и 3), по аналогии с работами Шарапудинова И. И. исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных (не только равномерных) сетках. Другая задача, рассмотренная в этих же главах, посвящена исследованию вопросов приближения непрерывных функций, заданных на [—1,1] суммами Фурье по многочленам, ортогональных на дискретных системах точек. Здесь, в свою очередь, возникает вопрос об оценке функции Лебега указанных сумм.

Объект исследования.

В работе исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных дискретных системах точек, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частных сумм Фурье по этим многочленам.

Цель работы.

1. Исследовать асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [—1,1].

2. Исследовать аппроксимативные свойства частичных сумм t) ряда Фурье функции / е С[—1,1] по этим многочленам.

Приведем краткий обзор содержания диссертации.

1. Абрамович, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган. — М.: Наука, 1979.

2. Агаханов, С. А. Функция Лебега сумм Фурье—Якоби / С. А. Агаханов, Г. И. Натансон // Вестник Ленингр. ун-та. — 1968. Вып. 1. С. 11−13.

3. Бадков, В. М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье— Якоби / В. М. Бадков // Сиб. Мат. Ж. 1968. — Т. 9, вып. 6. — С. 12 631 283.

4. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков М.: Наука, 1987.

5. Бернштейн, С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке/ С. Н. Бернштейн // Поли. собр. соч. 1954. Т. 2. М.: Изд. АН СССР. — С. 7−106.

6. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков. М.: Наука, 1987.

7. Даугавет, И. К. Некоторые неравенства типа Маркова-Никольского для алгебраических многочленов / И. К. Даугавет, С. З. Рафальсон // Вестн. Ленингр. ун-та. 1972. — № 1. — С. 15—25.

8. Даугавет, И. К. О некоторых неравенствах для алгебраических многочленов / И. К. Даугавет, С. З. Рафальсон // Вестн. Ленингр. унта. 1974, вып. 4. — С. 18−24.

9. Касумов, Н. М. Дискретный аналог полиномов Лежандра / Н. М. Касумов // Изв. АН Аз. ССР. сер. физ.-техн. и мат. наук. 1980. — Вып. 2. — С. 2−25.

10. Кашин, Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. -М.: Наука, 1984.

11. Конягин, С.В. О неравенстве В. А. Маркова для многочленов в метрике L / С. В. Конягин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1980. — Т. 145. С. 117—125.

12. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов. М.: Наука, 1967.

13. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. М.: Гостехиздат, 1949.

14. Никифоров, А. Ф. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной / А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров.М.: Наука, 1985.

15. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. -М.: Наука, 1979.

16. Нурмагомедов, А. А. Об асимптотике многочленов, ортогональных на произвольных сетках / А. А. Нурмагомедов // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2008. — Т. 8, вып. 1. Серия Математика. Механика. Информатика. — С. 28—31.

17. Нурмагомедов, А.А. О многочленах Pn^it), ортогональных па произвольных сетках / А. А. Нурмагомедов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы.- 2009. С. 123—124.

18. Нурмагомедов, А.А. О полиномах в случае целых, а и /3 / А. А. Нурмагомедов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 15-й Саратовской зимней математической школы. 2010. — С. 129−130.

19. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Cere М.: Физматгиз, 1962. — 500 с.

20. Суетин, П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. М.: Наука, 1979.

21. Шарапудинов, И. И. Приближение функций суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебышева дискретного переменного / И. И. Шарапудинов // -М.: Деп. В ВИНИТИ, 1980. Вып. 3137−80. — С. 1—44.

22. Шарапудинов, И. И. Функция Лебега частных сумм Фурье по полиномам Хана / И. И. Шарапудинов // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. 1982. — С. 132—144.

23. Шарапудинов, И. И. Некоторые свойства многочленов, ортогональных на конечной системе точек / И. И. Шарапудинов // Изв. Вузов. Математика. 1983. — Вып. 5. — С. 85—88.

24. Шарапудинов, И. И. Весовые оценки многочленов Хана / И. И. Шарапудинов // Теория функций и приближений. Тр. Саратовской зимней школы. 1982.

25. Шарапудинов, И. И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана / И. И. Шарапудинов // Изв. вузов Математика. -1985. Вып. 5. — С. 78−80.

26. Шарапудинов, И.И. О применении многочленов Мейкснера к приближенному вычислению интегралов / И. И. Шарапудинов // Изв. вузов. Математика. 1986. — Вып. 2. — С. 80—82.

27. Шарапудинов, И. И. Асимптотические свойства полиномов Кравчука / И. И. Шарапудинов // Матем. заметки. 1988. — Т. 44, вып. 2. — С. 682−693.

28. Шарапудинов, И. И. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной / И.И. Шарапудинов// Матем. сборник. 1989. — Т. 180, вып. 9. — С. 1259−1277.

29. Шарапудинов, И. И. Некоторые свойства ортогональных многочленов Мейкснера / И. И. Шарапудинов // Матем. заметки.- 1990. Т. 47, вып. 3. — С. 135−137.

30. Шарапудинов, И. И. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье / И. И. Шарапудинов // Дискретная математика. 1990. Т. 2, вып. 2. С. 33−44.

31. Шарапудинов, И. И. К асимптотическому поведению ортогональных многочленов Чебышева дискретной переменной / И. И. Шарапудинов // Матем. заметки. 1990. — Т. 48, вып. 6. — С. 150−152.

32. Шарапудинов, И. И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Чебышева-Хана / И. И. Шарапудинов // Матем.сборник. -1991. Т. 183, вып. 3. — С. 408−420.

33. Шарапудинов, И. И. Некоторые вопросы теории ортогональных систем. Докторская диссертация. -М.: МИАН им. В. А. Стеклова, 1991.

34. Шарапудинов, И. И. Об асимптотике многочленов Чебышева, ортогональных на конечной системе точек / И. И. Шарапудинов // Вестник МГУ. 1992. — Вып. 1. Серия 1. — С. 29−35.

35. Шарапудинов, И. И. О сходимости метода наименьших квадратов / И. И. Шарапудинов j J Матем. заметки. 1993. — Т. 53, вып. 3. — С. 131−143.

36. Шарапудинов, И. И. Об ограниченности в средних Балле—Пуссена для дискретных сумм Фурье-Чебышева / И. И. Шарапудинов // Матем. сборник. 1996. — Т. 187, вып. 1. — С. 143−160.

37. Шарапудинов, И. И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения / И. И. Шарапудинов. Махачкала: ДГПУ, 1997.

38. Шарапудинов, И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения. / И. И. Шарапудинов. Махачкала: ДНЦ, 2004. — 276 с.

39. Sharapudinov, I.I. Asimptotic Formula Having no Remainder Term for orthogonal Hahn polynomials of discrete variable / I.I. Sharapudinov // Mathematicf Bolkanica. New Seris. 1988. — V. 2, fasc. 4. — P. 314−318.

40. Sharapudinov, I.I. On the approximation of discrete function by Fourier—Hahn sums / I.I. Sharapudinov // Analysis Mathematica. 1991. V. 17. P. 35−46.

41. Charlier, С. V. Arkiv for math, astron. o. fysik / С.V. Charlier // 1905/06.2. № 20.

42. Weber, M. On the finite difference analogue of Rodrigues formyla / M. Weber, A. Erdeleyi // Amer. Math. Month. 1975. -V. 59. — P. 163−168.