Методы и проблемно-ориентированные программы математического моделирования динамических систем по фазовым портретам

Диссертационная работа посвящена развитию известных и разработке новых конструктивных аналитических методов синтеза математических дифференциальных моделей динамических систем по фазовым портретам, отражающим требуемые или заданные свойства их поведения, а также созданию комплекса проблемно-ориентированных программ реализации этих методов с применением компьютеров.

Обсудим сначала общие вопросы использования математических моделей в научных исследованиях.

§ 0.1 Математические модели динамических систем и задачи их изучения.

Главной задачей научного естествознания является изучение динамических систем с целью поиска способов описания, предсказания и влияния на их развитие [16,18,25,50,55]. Основным приемом достижения этой цели является метод математического моделирования динамических систем, позволяющий с достаточной точностью описывать и прогнозировать поведение динамической системы произвольной физической природы. Математическая модель динамической системы определяются согласно А. Пуанкаре фазовым пространством (или пространством возможных состояний) Rn и однозначным оператором T (t), который зависит от параметра t и задает закон изменения этих состояний во времени [36,71,72]. Предполагается, что такой оператор каждой фазовой точке х? jRn ставит в соответствие фазовую точку х — T (t)x и обладает свойством.

T (t2)T{t{)x = T (h + t2) x, где ?2 > 0 — значения параметра t. Различают операторы линейные, нелинейные, непрерывные, дискретные, а по форме задания — дифференциальные, интегральные и т. д. [17,64,66].

В данной работе объектами изучения являются математические модели динамических систем, которым соответствуют конечномерные пространства состояний Rn и дифференциальные опрераторы Т (£). Каждую из таких моделей можно рассматривать, следуя [9,10], как фазовый поток {М, д1}, где фазовое пространство М — конечномерное дифференцируемое многообразие, а дь — однопараметрическая группа диффеоморфизмов этого пространства. В этом случае движением точки х Е М фазового потока называется отображение (р: R —>• М,.

Из этих определений следует, что динамическая система любой природы, описываемая системой дифференциальных уравнений вида хг = Хг{хь., хп) (г = 1,., n) (1) класса Ci, где xi,., хп — переменные состояния, представляет собой фазовый поток. При изменении состояния фазового потока изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией. Разбиение на траектории фазового пространства определяет фазовый портрет фазового потока, который служит его геометрическим образом, изображающим все возможные случаи эволюции его состояния во времени [6,7,9,10,17,64,66].

Задание фазового портрета математической модели дает полное представление о всех возможных изменениях состояний фазового потока, что объясняется существованием зависимости между свойствами его поведения и свойствами соответствующего ему разбиения на траектории фазового пространства i? n. Топологическая структура фазового портрета математической модели характеризуется совокупностью ее особых фазовых многообразий, их локальными структурами и взаимным расположением [6,7]. В частности, особые точки соответствуют состояниям равновесия или стационарным режимам, а изолированные замкнутые траектории (предельные циклы) — периодическим режимамустойчивые состояния равновесия и предельные циклы отвечают установившимся режимамсепаратрисные поверхности являются границами областей притяжения устойчивых многообразий и определяют множества соответствующих переходных режимов и т. д.

Существованием такой связи между поведением фазового потока и свойствами разбиения на траектории фазового пространства обусловлены возможность и целесообразность постановки и решения задач двух следующих типов: a) правые части уравнений (0.1) математической модели динамической системы являются известными функциями. Требуется определить возможные случаи поведения соответствущего фазового потока в некоторой данной области фазового пространства. В терминах качественной теории дифференциальных уравнений это означает установление топологической структуры математической модели в указанной области фазового пространстваb) некоторые свойства поведения фазового потока заданы в виде совокупности отдельных фазовых траекторий и схемы разбиения на траектории некоторой области фазового пространства. Требуется определить математические модели вида (0.1), обладающие заданными свойствами фазового портрета.

Постановка задачи типа а) является традиционной и наиболее распространенной в современной теории математического моделирования. Её решение предполагает нахождение схемы топологической структуры математической модели в некоторой области области фазового пространства. «Однако вопрос, как найти схему, остается открытым, так как до настоящего времени не существует никаких регулярных методов, позволяющих установить существование предельных циклов динамических систем и найти их расположение, а также расположение сепаратрис» [7]. «Отсутствие точных универсальных методов исследования нелинейных систем обусловило разработку богатого арсенала приближенных аналитических и численно-аналитических методов, могущих быть реализуемыми в эффективных компьютерных алгоритмах» [28]. К таким методам относятся метод итерации (последовательных приближений), методы преобразования первоначальных уравнений (метод усреднения, например), метод выделения основных или главных частот движения планет и спутников, которые имеют достаточно сложный характер, методы разложения в ряды (степенные, тригонометрические и т. д.), численно-аналитические асимптотические методы построения решений дифференциальных уравнений [27 — 30], методы функций Ляпунова [19,31,34, 38,39,54,76,86]. Решение задач типа а) является в свою очередь математической основой для конструирования управляемых и целенаправленных технических систем [48]. Основными методами такого конструирования являются методы математической теории управления (метод максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана, теория линейных управляемых систем), общая теория систем, теория системной безопасности, теория надежности и устойчивости систем [5,11,19,25,43,48,55,70,76].

Задача Ь) является обратной по отношению к задаче а), и её решение может быть использовано для построения математических моделей динамических систем с заданными или требуемыми свойствами их поведения. Такой, отличный от традиционного, подход к математическому моделированию позволяет аналитически синтезировать сложные математические модели без использования приближенных и асимптотических методов их исследования, применение которых приводит к трудноразрешимым математическим проблемам, позволяет установить в общем случае лишь локальные свойства траекторий фазового портрета и не дает достаточно полной информации о всех возможных случаях поведения исследуемой математической модели. Несмотря на известность решений целого ряда отдельных классических обратных задач динамики И. Ньютоном [69], М. Ж. Бертраном [92], И. В. Мещерским [56], Н. Б. Жуковским [37], В. П. Ермаковым [33], Г. К. Сусловым [78] и другими известными учеными, в настоящее время не существует развитой общей математической теории решения обратных задач. Этот факт можно объяснить отсутствием соответствующего математического аппарата. С математической точки зрения перечисленные выше задачи являются обратными задачами теории дифференциальных уравнений. Научные результаты, накопленные к концу 60-х годов XX века в области качественной теории дифференциальных уравнений, открыли возможности для разработки новых подходов и методов решения обратных задач. Первые шаги по классификации постановок и систематизации методов решения обратных задач, по созданию общей математической теории их решения и практического использования сделаны А. С. Галиуллиным и его многочисленными учениками [20 — 24, 57 -61]. Основу этой теории составляют метод Н. П. Еругина [35] построения систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные кривые, и идея о возможности использования произвольных функций (называемых функциями Еругина), содержащихся в этих уравнениях, для обеспечения и других дополнительных требуемых свойств решений этих уравнений [35]. В результате реализации этой идеи и использования известных методов теории устойчивости были разработаны методы построения систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные совокупности интегральных многообразий, обладающих требуемыми свойствами устойчивости. Эти методы были применены для решения многочисленных прикладных задач из области аналитической динамики и теории управления. Особенностью всех известных в настоящее время методов решения обратных задач подобного типа является то, что с их помощью можно добиться требуемых свойств поведения решений только в окрестностях заданных интегральных многообразий. Однако наибольший прикладной интерес представляют методы построения математических моделей, фазовые портреты которых имеют заданную топологическую структуру фазового пространства в целом. Разработка таких конструктивных методов, которые открывают новые возможности для математического моделирования динамических систем и управления их поведением, а также создание пакета программ компьютерной реализации этих методов является главной целью данной диссертационной работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы, в частности, для математической формализации целей управления при конструировании управляемых динамических систем. Эти цели могут состоять, например:

— в возможности изменения состояний меделируемой динамической системы в определенной их последовательности (что равносильно существованию определенной фазовой траектории соответствующей математической модели (0.1));

— в отсутствии или существовании периодических и стационарных режимов, имеющих требуемый характер их устойчивости;

— в существовании определенных переходных режимов и заданных областей притяжения установившихся режимов.

Целесообразность такого использования решений задач типа обусловлен тем, что:

— выполнения требуемых свойств поведения математической модели, не включенных в число заданных при постановке обратной соответствующей задачи, приходится добиваться соответствующим выбором управляющих функций после состаления уравнений (0.1) этой моделей. Это приводит в общем случае к необходимости дополнительных качественных исследований синтезированной математической модели, что является (даже при п = 2) довольно сложной, а в большинстве случаев практически трудноразрешимой задачей;

— дифференциальные уравнения несравненно богаче по разнообразию отражаемых ими свойств, чем уравнения конечные [46,47];

— методы построения систем уравнений (0.1) допускают включение в их правые части произвольных функций, которые не влияют на топологическую структуру искомых математических моделей и, благодаря этому, могут быть использованы для обеспечения дополнительных свойств поведения описываемых ими управляемых объектов, процессов или явлений;

— сравнение математических моделей динамической системы, одна из которых получена в результате решения обратной задачи типа Ь), а другая — на основе законов естествознания, позволяет получить управления, обеспечивающие требумые движения динамической системы, соответствующей этим моделям.

Представленные в работе методы построения математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями вида (0.1) в случае п = 2, сводятся к решению обратных задач качественной теории дифференциальных уравнений. Сложность решения этих задач зависит от числа и характера требуемых свойств моделируемых систем. Математической основой разработки этих методов служат фундаментальные положения качественной теории дифференциальных уравнений, известные методы исследования особых траекторий (в частности, метод М. Фроммера изучения особых точек [80]) и методы построения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные кривые и многообразия [20 — 24,35,57- 62,98,100].

1. Альмухамедов М. И. Обратная задача качественной теории дифференциальных уравнений / / Изв. вузов. Математика. 1963. № 4 (35). 3 — 6 .

2. Альмухамедов М. И. О конструировании дифференциального уравнения, имеющего своими предельными циклами заданные кривые / / Изв. вузов. Математика. 1965. J^ 1 (44). 12 — 16.

3. Андреева Е. А., Колмановский В. В., Шайхет Л. Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

4. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г Качественная теория динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1966.

5. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

6. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960.

7. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. 4, — 3 0 5 ;

8. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. ^ И. Афанасьев В. Н., Колмановский В. В., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 1989.

9. Виркгоф Дэю. Динамические системы. М.: Гостехиздат. 1941.

10. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматгиз. 1994.

11. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Наука. 1974.

12. Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике / / Сб. трудов ин-та строительной механики АН СССР. 1950. № 14.

13. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем М.: Наука. 1978.

14. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А.

Введение

в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. Щ 18. Волкова В. Н., Денисов А. А. Основы теории систем и системного анализа. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.

15. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

16. Галиуллин А. С, Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г., Фурасов В. Д. Построение уравнений программного движения управляемых систем. М.: изд. УДН, 1969.

17. Программное движение механических систем / Под ред. А. Галиуллина: Учеб. пособие. М.: изд. УДН, 1971.

18. Галиуллин А. Построение уравнений движения / / Дифференциальные уравнения. 1977. № 2. 32 — 45. — 3 0 6 ;

19. Галиуллин А. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986.

20. Галиуллин А. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1981.

21. Гиг Дою., ван. Прикладная общая теория систем. Т. 1, 2.— М.: Мир, 1981.

22. Горячев Д. Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. Варшава, 1910.

23. Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1999.

24. Гребеников Е. А., Митропольский Ю. А., Рябов Ю. А.

Введение

в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999.

25. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем М.: Наука. 1979.

26. Гробман Д. М. Топологическая и асимптотическая эквивалентеость систем дифференциальных уравнений / / Матем. сб. 1963. Т. 61. № 1.

27. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967.

28. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1964.

29. Ермаков В. П. Определение силовой функции по данному семейству траекторий. Собр. соч. Т. 1. М.- Л.: Гостехиздат, 1948.

30. Еругин Н. П. Качественные методы в теории устойчивости. / / ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 2. 227 — 236. 4, •).