Моделирование взаимодействия теплопроницаемых трещин в упругой двухкомпонентной среде под действием тепловых нагрузок

Проблемы термоупругости в двухсвязных телах, ослабленных системой трещин, и находящихся под действием тепловых нагрузок, часто возникают в различных технических задачах. Наличие границы соединения материалов с разными коэффициентами теплопроводности приводит к появлению существенной неоднородности в распределении температурных полей вблизи границы, а присутствие различных дефектов — трещин вносит дополнительный вклад в эту неоднородность. Неоднородность тепловых полей порождает неоднородность деформаций и напряжений в двухсвязных материалах, что в свою очередь может быть причиной появления новых дефектов и распространения уже имеющихся. Поэтому важно исследовать влияние взаимодействия неоднородностей в форме трещин и границ раздела материалов под действием тепловых и механических нагрузок на распределение тепловых полей и деформаций, чтобы понять качественную картину происходящего процесса. В настоящее время существует большое количество исследований в этой области. Основы механики разрушения, моделирование разрушения материалов, методы решения задач отражены в работах [18, 45, 19, 2, 74, 43, 102].

Системы трещин.

Обзор работ, посвященных исследованию взаимодействия трещин при разных механических и тепловых нагрузках приведен в работах [94, 42]. В монографии [109] даны решения задач о взаимодействии макротрещины с произвольной системой микродефектов (трещин, пор, включений). Получены аналитические асимптотические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах макротрещины и проанализировано их изменение в зависимости от геометрии задачи при действии механической нагрузки и тепловой.

Система множественных трещин рассматривается в [86]. В работе [119] проводится анализ коэффициентов интенсивности напряжений для трещины в окрестности кругового включения в матрице. Численные результаты получены методом граничных интегралов и методом граничных элементов. В работе [63] определяются поля смещений и напряжений в двумерной упругой пластине со множественными взаимодействующими трещинами с использованием аппроксимации этих полей элементарными функциями. Авторы отмечают, что точность предложенного ими метода зависит от геометрии (взаимного расположения) трещин, однако она остается высокой, если расстояния между трещинами меньше длины трещин.

В работе [75] дан обзор результатов различных подходов к расчетам двумерных и трехмерных задач взаимодействия трещин. Обсуждаются решения для случаев близкого расположения трещин. Утверждается, что такие решения отличаются от результатов расчета в задачах распространения и слияния трещин.

В работе [61] предложен метод анализа влияния взаимодействия трещин на показатели поврежденности материала. Метод основан на концепции эффективного поля. Для исследования взаимодействия микротрещин в эллиптической или круговой области вокруг микротрещины используется метод Качанова [74], а влияние других микротрещин вне этих областей отражается в изменении напряжений, которые приложены на бесконечности. Определяются и исследуются коэффициенты интенсивности напряжений микротрещины в твердом теле с множеством микротрещин.

В работе Назарова С. А. [23] анализируется взаимодействие трещин, их устойчивость или лавинообразный рост, при хрупком разрушении. Обсуждаются сходство и различия критериев Ирвина и Гриффитса, как в обычных, так и в уточненных формулировках. В работе [93] разработана модель разрушения хрупких тел при сжатии, основанная на анализе формирования и взаимодействия микротрещин в процессе нагружения. Предполагается, что источником микротрещин являются исходные дефекты структуры материала, распределение которых ранее известно. Анализ взаимодействия трещин позволяет оценить эффективные коэффициенты интенсивности напряжения, определяющие динамику роста микротрещин. Поврежденность определяется как плотность микротрещин, а эволюция поврежденности зависит, как от распределения дефектов, так и от динамики роста отдельных трещин.

Численное решение методом конечных элементов для задачи о взаимодействии двух произвольно ориентированных полуэллиптических трещин на поверхности пластины получено в [90]. Проанализировано влияние размеров трещины, расстояния между ними и их взаимной ориентации на максимальное значение коэффициента интенсивности напряжений.

В результате взаимодействия дефектов и под действием смешанного напряженного состояния, трещины могут частично или полностью закрываться, и появившиеся области контакта будут влиять на напряженно-деформированное состояние тела с трещинами. Работа [32] посвящена исследованию напряженного состояния бесконечной плоскости с частично закрытой трещиной. В работе Пенькова В. Б. [31] построено строгое решение для зеркально-симметричной задачи о смыкании берегов трещины под действием сжимающей нагрузки, приложенной на удалении. Также получено асимптотическое решение задачи о залечивающейся трещине и построено второе приближение для эпюр нормальных напряжений на контуре.

Новый метод решения, основанный на применении сингулярных интегральных уравнений, для антиплоских задач теории упругости для тел с системой ломаных трещин с учетом особенности напряжений в угловых точках предложен в работе [40]. Модифицированные сингулярные интегральные уравнения имеют непрерывные регулярные ядра и правые части, т. е. принадлежат к такому же типу, что и в случае гладких граничных контуров. Получены значения коэффициентов интенсивности напряжений в угловых точках и вершинах трехзвенной ломаной трещины и системы двух двухзвенных ломаных трещин в бесконечном теле.

В работе [98] исследуется напряженное состояние, вызванное термическим шоком в полосе конечной ширины с системой периодических краевых трещин. Коэффициент интенсивности напряжений в вершинах трещин увеличивается с увеличением расстояния между трещинами, так как уменьшается эффект «экранирования». Через определенный характерный период времени усилия на поверхности трещин из-за увеличения нагрузки становятся почти линейными, и для этого случая исследуется влияние геометрии задачи на коэффициент интенсивности напряжений в вершинах трещин.

Задачи термоупругости для тел с трещинами и методы решения.

Основные граничные задачи термоупругости в терминах теории комплексных потенциалов для изотропных и анизотропных тел различных конфигураций, содержащих коллинеарные или круглые отверстия, представлены в работе И. А. Прусова [35]. В работах М. П. Саврука [38, 39] получены сингулярные интегральные уравнения для тела с системой термоизолированных трещин под действием однородного теплового потока или точечного теплового источника. Для случая двух далеко расположенных трещин получено асимптотическое решение в виде ряда по малому параметру, который равен отношению длины трещины к расстоянию между их центрами.

Различные двухмерные и трехмерные задачи для тел с эллиптическими трещинами при механическом и температурном воздействиях рассматривались в работах [9, 10, 33, 79].

Большое количество численных и асимптотических данных для вычисления термических коэффициентов интенсивности напряжений можно I найти в монографиях [30, 36], а также в справочниках по КИН [37, 20]. Обзору исследований по терморазрушению упругих и упругопластических двухфазных тел посвящена работа [72], а в статьях [110, 91] дан обзор термоупругих задач для материалов со степенным законом упрочнения и содержащих трещины.

В работе [103] было показано, что функция тепловых потоков в вершинах трещин имеет сингулярность порядка гш, где г — расстояние до вершины. Следует отметить, что такую же сингулярность имеют и тепловые потоки в вершинах межфазной трещины. Используя этот факт, в работе [47] был введен коэффициент интенсивности тепловых потоков для характеристики интенсивности тепловых потоков в окрестности вершин трещин.

В работах Петровой В. Е., Herrmann К. [95, 96] исследованы задачи термоупругости для системы термоизолированных трещин в биматериале под действием теплового потока или теплового источника. Получены системы сингулярных интегральных уравнений для задачи взаимодействия внутренних дефектов с межфазной трещиной. В случае, когда размер внутренних трещин значительно меньше размера межфазной трещины, получены асимптотические аналитические решения методом малого параметра [109] (Tamuzs V., Romalis N., PetrovaV.). Решение задачи для однородного материала с системой термоизолированных трещин под действием теплового потока или теплового источника можно найти в монографии В. В. Панасюка, М. П. Саврука, А. П. Дацыщина [30].

Метод граничных интегральных уравнений для решения трехмерных задач стационарной теплопроводности и термоупругости для бесконечного тела с произвольно расположенными трещинами применен в работе [12]. Тот же метод используется для полупространства с теплоактивной круговой трещиной, перпендикулярной его границе в работе [80] и параллельной его границе в работе [13]. В работах [4, 57] исследованы напряженно-деформированные состояния тел с круговыми теплоактивными трещинами, на поверхностях которых задана температура или тепловой поток. Исследования выполнены в осесимметричной постановке методом интегрального преобразования Ганкеля и дуальных интегральных уравнений для бесконечного тела.

В работе [67] рассмотрена краевая задача термоупругости о взаимодействии жесткого включения с прямолинейной трещиной в бесконечной плоскости, под действием однородного теплового потока. Используя принцип суперпозиции, начальная задача распадается на две группы задач, которые далее приведены к отдельным основным подзадачам, включающим в себя 1) построение функций Грина для краевой дислокации и пары тепловых источников, 2) задачу о плоскости, содержащей включение, под действием однородного теплового потока и 3) задачу о включении, подвергнутом малому вращению. Задачи решены, используя метод комплексных переменных, параллельно с техникой рациональной отображающей функции.

В работе [76] представлены решения через функции Грина для плоской задачи с тепловым источником и термической дислокацией, расположенными вблизи границы раздела двух анизотропных идеально связанных полубесконечных тел с различными термомеханическими свойствами. Для анализа результатов использован метод комплексных потенциалов.

В статье [85] с помощью дислокационного формализма Стро решена термоупругая задача о ветвлении межфазной трещины, распространяющейся по границе раздела биматериала. С использованием теории аналитических функций и принципа аналитического продолжения, в компактной форме получено общее решение задачи для анизотропного биматериала. Используется аппарат функций Грина. С использованием метода контурных интегралов получено решение задачи о взаимодействии между дислокациями и межфазной трещиной. Исследовано влияние тепловой нагрузки и тепловых свойств материалов на ветвление трещины и предложен критерий ветвления трещины, основанный на полученных решениях.

Двумерные стационарные задачи теплопроводности и термоупругости для упругого полупространства, содержащего упругое цилиндрическое макровключение и термоизолированную трещину исследованы в работе [88]. Задачи приведены к системе двух сингулярных интегральных уравнений. Числовые решения этих систем получены методом > механических квадратур для включения в форме эллиптического цилиндра и прямолинейной трещины в полупространстве, нагретом тепловым потоком вызванным трением, равномерно распределенным по поверхности полупространства. Числовые решения представлены в форме графиков для коэффициентов интенсивности напряжения как функции размера включения и расстояния между включением и трещиной. А в работе [89] исследовано влияние внутреннего теплового источника на коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах произвольно ориентированной краевой трещины в однородной полуплоскости.

В статье [117] рассмотрены термические напряжения в упругой полуплоскости, содержащей бесконечный ряд параллельных трещин, перпендикулярных её границе. Полуплоскость подвержена равномерному-нагреву и равномерной механической нагрузке. Поверхности трещин и свободная поверхность полуплоскости находятся под действием постоянной температуры. С помощью преобразования Фурье задача сводится к сингулярным интегральным уравнениям, которые решаются с помощью интегральной формулы Гаусса-Якоби.

Деформация термоупругого тела с порами из-за механических и тепловых источников при осесимметричных распределениях исследуется в работе [82]. Чтобы найти общее решение для плоской осесимметричной задачи, использовались преобразования Лапласа и Ганкеля. Результаты в виде смещений, напряжений, температурного распределения и изменения области относительного объема получены численно и иллюстрированы графически.

В работе [97] исследуется распределение напряжения в трансверсально-изотропном теле с термоизолированной параболической трещиной, подвергнутой влиянию однородного теплового потока, действующего перпендикулярно поверхности трещины. Получены формулы для коэффициентов интенсивности напряжения около вершин трещины.

В статье [115] исследованы механические и электрические поля в конечной термопьезоэлектрической пластине, содержащей изолированную трещину под действием теплового потока. Общая форма решения состоит из голоморфной части, представленной рядом Лорана, и неголоморфной части в интегральной форме, из-за наличия трещины. Приближенное решение получено методом наименьших квадратов для прямоугольной пластины. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжения и электрического смещения.

Статья [118] посвящена задаче взаимодействия между отверстием с трещиной и прямолинейной трещиной под действием однородного теплового потока. Используя принцип суперпозиции, начальная проблема распадается на три частные задачи. В первой задаче рассматривается проблема отверстия с краевой трещиной под действием однородного теплового потока, во второй и третьей — проблемы отверстия под действием распределенной температуры и с краевыми дислокациями вдоль поверхности линии трещины, соответственно. Решение первой задачи, так же, как фундаментальные решения второй и третьей, получено методом комплексных переменных с использованием рациональной отображающей функции. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжения в вершинах трещин.

Межфазные трещины — различные модели.

Многочисленные исследования показывают влияние прочности соединения вдоль поверхности раздела в композитах на прочность и трещиностойкость материала в целом (см. например [16]). Влияние внешней нагрузки приводит к возникновению сложного напряженного состояния на поверхности раздела материалов из-за различных упругих свойств. Это в свою очередь может привести к расслаиванию и появлению межфазного дефекта. Дальнейшее поведение межфазных дефектов может повлиять на прочность всего материала. Начиная с работы M.L. Williams [122], по настоящее время опубликовано большое количество работ, посвященных исследованию межфазной трещины. Среди них можно отметить работы Салганика P. JL [41], Г. П. Черепанова [44], Прусова И. А. [34], England А. [59], Erdogan F. [60], Rice J.R., Sih G. [100], Дундурса Я. и Комниноу М. [8] и др.

Решение краевой задачи о межфазной трещине содержит осциллирующую особенность функции напряжений в окрестности вершины трещины. В результате получается физически некорректное решение, допускающее перекрытие берегов трещины в окрестности ее вершины. Однако, для многих видов нагрузки зоны осцилляции в вершине трещины малы и решение пригодно для исследования напряженно-деформированного состояния в окрестности межфазных трещин, что было показано в работе [99]. Тем не менее, для устранения осциллирующей особенности некоторыми авторами были предложены новые модели межфазной трещины. В работах [53, 54] рассматривались такие модели с зонами контакта между поверхностями трещин в концевых зонах дефектов, но без учета трения, а в работах [56, 52, 55] исследовано влияние трения в зонах контакта. Обзору моделей межфазных трещин посвящена статья [51] и представлены экспериментальные исследования по распространению межфазных трещин.

В работах [83, 58] рассматривались задачи о частично теплопроницаемой межфазной трещине. Был введён коэффициент теплопроницаемости трещины ц е [0,1]- rj = 0 соответствует термоизолированной трещине, т| = 1 — полностью теплопроницаемой трещине. Более общие постановки задачи для теплопроницаемых трещин были даны в работе Г. С. Кита и Я. С. Подстригача (см. монографию [11]).

В работе [81] исследовано поведение межфазной теплопроницаемой трещины, центральной и краевой, на границе соединения двух конечных тел из разных материалов под действием тепловой нагрузки. Было также исследовано влияние теплопроницаемости трещины после смыкания её поверхностей на напряженно-деформированное состояние в теле.

В работе [68] численно исследован рост межфазной трещины под влиянием теплового потока. В работе [71] рассматривается плоская задача для теплоизолированной межфазной трещины с зоной контакта в изотропном биматериале, находящемся под действием растяжения и сдвига, и под действием теплового потока. Получены выражения для напряжений и электрического потока, а так же для производных смещения и скачков температуры на границе раздела материалов через кусочно-аналитические механические и тепловые потенциалы. После решения температурной задачи, сформулирована неоднородная краевая задача Дирихле-Римана, и получено точное решение. Напряжения на границе раздела и коэффициенты интенсивности напряжения в сингулярных точках представлены в явной аналитической форме. В работе [15] исследовано частичное закрытие наделенной термосопротивлением межфазной трещины в биматериале с различными термическими свойствами компонент, находящемся под действием растягивающей нагрузки и теплового потока, перпендикулярных трещине. Частичное закрытие трещины наблюдается, если тепловой поток направлен в сторону материала с меньшей термической дистортивностью и превышает некоторое пороговое значение. Показано, что образующийся на середине трещины участок контакта ее берегов и контактное давление берегов возрастают при увеличении термосопротивления трещины. Установлено, что пренебрежение контактом приводит к уменьшению коэффициента интенсивности нормальных межфазных напряжений.

В работе [104] межфазная трещина под действием неоднородного поля напряжений рассмотрена при предположении о частичном закрытии трещины. Получен ряд решений в элементарных функциях. Условия возникновения трещин в зоне слабого адгезионного соединения на линии раздела сред рассматривались Симоновым И. В. и Karihaloo В. [105]. Ими было показано, что критическое напряжение, при котором происходит образование трещины, зависит от упругих постоянных материалов, длины слабой зоны и сил сцепления на ее линии. Субкритический рост трещины вдоль ослабленной поверхности раздела под действием сложного напряженного состояния также исследовался в работе Салганика P. JL, Gotlib V.A. [101]. В статье Антипова Ю. А. [1] межфазная трещина изучается при наличии сухого трения на участках контакта.

Модель трещины на границе соединения материалов со связями между берегами в концевой области трещины исследовалась Гольдштейном Р. В. и Перельмутером М. И. [62, 7, 6]. Проведенный анализ предельного равновесия трещины с учетом энергетического и кинематического критериев, позволил авторам оценить предельный размер концевой области трещины, допустимую нагрузку и характеристики адгезионного сопротивления соединения двух материалов. Модель межфазной трещины с искусственно введенной зоной контакта, первоначально предложенная в работе Лободы В. В. [87] для изотропных биматериалов, была в дальнейшем применена для анизотропных двухкомпонентных материалов [73] и пьезоэлектриков [69, 70]. Причем, кроме механической нагрузки, были рассмотрены тепловые и электрические воздействия и их совместное влияние на биматериалы. Эта модель также была применена и для системы межфазных трещин [77, 78]. Задаче о межфазной трещине между анизотропными материалами посвящены работы Назарова С. А. [24], Berger J.R., Tewary V.K. [46].

В статье Бакирова В. Ф. и Гольдштейна Р. В. [3] модель Леонова-Панасюка-Дагдейла применена для трещины на границе соединения различных материалов. Предполагается, что при приложении на бесконечности равномерно распределенных нормальных напряжений в концевых областях действуют постоянные нормальные и касательные напряжения сцепления между берегами трещины. Исследован общий случай, когда размеры концевых областей не малы по сравнению с характерным размером трещины. Получены аналитические выражения для компонент вектора раскрытия берегов трещины, распределения напряжений на продолжении трещины, коэффициентов интенсивности напряжений, а также соотношения между внешней нагрузкой, длиной трещины и параметрами концевой области в состоянии предельного равновесия. Отдельно рассмотрен случай, когда концевые области малы по сравнению с длиной трещины.

Взаимодействие дефектов — трещин с межфазными трещинами и границами раздела.

Большое внимание задачам о взаимодействии внутренних дефектов с межфазной трещиной и поверхностью раздела материалов уделяется в последние годы. Целый ряд работ SuoZ. [106, 107, 108] посвящен взаимодействию внутренних сингулярностей с межфазной трещиной в изотропных и анизотропных материалах под действием механической нагрузки. В качестве сингулярностей в них рассматриваются единичные дислокации, сосредоточенные силы, моменты. Решения основаны на принципе суперпозиции и методе комплексных потенциалов. Представленная схема решения оказалась эффективной для построения многих задач о взаимодействии дефектов с границей раздела материалов. Этот метод частично был использован Han X., Ellyin F., Xia Z. [66] для более общей задачи о взаимодействии трещин и дислокаций с границей раздела и межфазной трещиной, при этом трещины моделировались непрерывным распределением дислокаций. Авторами представлен ряд численных примеров частных задач, демонстрирующих эффективность метода.

Аналогичная проблема взаимодействия сингулярностей, границ раздела и межфазных трещин исследовалась в [50] для двухкомпонентных материалов, один из которых является изотропным, а другой анизотропным. В работе показана эквивалентность между двумерной анизотропной теорией упругости и изотропной в случае выполнения некоторых условий. Choi S.T., Earmme Y.Y. [49] предложили использовать метод альтернирования для решения задач о сингулярности в анизотропных триматериалах, т. е. материалах, состоящих из трех различных анизотропных материалов, соединенных вдоль прямолинейных границ раздела. В следующей работе [48] рассмотрена та же задача, но при разных типах границ раздела, которые моделируются соответствующими граничными условиями.

Дополнительные напряжения, которые появляются из-за возмущающего воздействия внутренних дефектов, оказывают влияние на напряженно-деформированное состояние на поверхности раздела и в окрестности межфазного дефекта. Этой проблеме посвящены работы Линькова A.M. [14], Tsamasphyros G., Theocaris P. S., Theotokoglou E.E. [116, 111], Suo Z. [106] и др., в которых рассмотрены общие постановки таких задач, строятся сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения.

Процесс расслоения границы раздела и образования межфазной трещины из-за влияния внутренней трещины, приближающейся по нормали к границе поверхности раздела, исследовался в работе J. Li [84] для модели межфазной трещины с пластическими зонами на концах. Аналогичная задача о расслоении из-за наличия внутренней трещины рассматривалась в работе Xiao Z.M., Guo J.Y. [123]. В целях моделирования зоны повреждения до возникновения трещины, на границе раздела были введены тонкие поперечные волокна.

В работе [124] исследовано взаимодействие конечной макротрещины с произвольно ориентируемым микродефектом. Приведенные примеры показывают эффективность численного подхода для анализа взаимодействия между макротрещиной и дефектом.

В работе [92] исследовано влияние границы раздела биматериала на характеристики излома растущей трещины, зарождающейся из надреза. Для анализа поведения трещины, зарождающейся из вершины полукруглого надреза, растущего на границе раздела биматериала, применен метод конечных элементов.

Ранее, в работах Goree J.G. и Venezia W.A. [64, 65] были рассмотрены задачи взаимодействия межфазной трещины и внутренней трещины, перпендикулярной поверхности раздела и межфазной трещине, пересекающей межфазную и распространяющейся в другой материал. Для решения использовался метод дислокаций и преобразование Меллина.

Ряд работ Tian W.-Y., Chen Y.H. и Chau К. Т. [113, 114, 112] посвящен исследованию взаимодействия полубесконечной межфазной трещины с микротрещинами в окрестности её вершины. Методом псевдонапряжений задача сводится к системе интегральных уравнений, которые решаются численно методом механических квадратур с использованием полиномов Чебышева.

В работе [17] получено асимптотическое аналитическое решение для задачи о взаимодействии межфазной трещины с произвольно расположенными микротрещинами в условиях продольного сдвига, а в работах Wang X.D., Meguid S.A. [120, 121] численно решена аналогичная задача для случая взаимодействия одной или двух микротрещин с межфазной трещиной.

Как видно из вышеприведенного обзора, тема взаимодействия теплопроницаемых трещин в упругой двухкомпонентной среде под действием тепловых нагрузок сегодня актуальна и востребованна, и является перспективной областью исследований.

Данная работа посвящена несвязанной термоупругой задаче о взаимодействии трещин в двухкомпонентном материале (биматериале), находящемся под действием теплового потока, приложенного на бесконечности, или под влиянием теплового источника, действующего в некоторой точке биматериала. Использовалась модель частично теплопроницаемых трещин. Такая модель позволяет изучать влияние дефектов материала (например, трещин), теплофизических свойств этих дефектов, а также свойств материалов на распределение тепловых потоков в биматериале. Для построения основных уравнений задачи использованы методы комплексных потенциалов и метод суперпозиции. Схема построения комплексных потенциалов для задачи о трещине в биматериале применена такая же, как в работе [108]. Полученные сингулярные интегральные уравнения решены методом малого параметра [109] для случая, когда длина межфазной трещины намного больше длины внутренней трещины.

Целью работы является разработка и исследование математических моделей взаимодействия теплопроницаемых трещин в упругих структурно-неоднородных материалах под действием тепловых нагрузок, а также аналитическое решение полученных задач теплопроводности и термоупругости. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

— сформулировать краевые задачи для изучаемых объектов;

— построить системы сингулярных интегральных уравнений для сформулированных задач;

— построить комплексные потенциалы задачи;

— получить асимптотическое аналитическое решение построенных систем сингулярных уравнений для нахождения функций скачков температур и разрывов смещений на линиях трещин;

— получить асимптотические аналитические выражения для коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также для критического теплового потока в вершинах трещин.

Методика исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на теорию функций комплексной переменной и свойства аналитических функций, на теорию упругих комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, аналитический метод решения систем сингулярных интегральных уравнений (асимптотический метод малого параметра).

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем: а) построены и решены системы сингулярных интегральных уравнений задач теплопроводности и термоупругости о взаимодействии трещин в упругом биматериале под действием тепловых нагрузок. Использовалась модель частично теплопроницаемых трещинб) получены асимптотические аналитические выражения для производных функции скачка температур и разрывов смещений на линиях трещин с точностью до второго приближения малого параметрав) получено асимптотическое аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности теплового потока, и напряжений, а также критического теплового потока в вершинах трещин.

Теоретическая и практическая значимость. Создана теоретическая основа для расчета разрушения двухкомпонентного тела, при наличии в нем межфазной трещины, взаимодействующей с системой внутренних трещин под воздействием тепловых нагрузок. Произведенные в работе расчеты могут быть использованы для нахождения характеристик трещиностойкости и оценки прочности композитных материалов.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском государственном университете, в НИИ математики ВГУ.

Достоверность результатов исследования подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений поставленных задач с эталонными известными решениями для некоторых частных случаев.

Апробация работы. Результаты диссертации доложены и обсуждены на конференциях и семинарах:

— Международная Молодежная Научная Конференция «XXXV Гагаринские чтения». Москва, 2009. (Ордян М. Г. Задача теплопроводности о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале.).

— Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — XX». Воронеж, 2009. (Ордян М. Г. Взаимодействие частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока.).

— Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж, 2009. (Ордян М.Г.

Термоупругая задача о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале.).

— на семинарах факультета прикладной математики и механики Воронежского государственного университета, на семинаре кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.

Публикации. Основные положения диссертации отражены в работах [25−29]:

Ордян М. Г. Взаимодействие теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале для случая, когда теплопроницаемость межфазной трещины осуществляется по квадратичному закону / М. Г. Ордян, В. Е. Петрова // Актуальные проблемы математики и информатики. -Воронеж, 2009. — (Тр. мат. фак.). — № 1. — С. 28−46.

— Ордян М. Г. Влияние коэффициентов теплопроводности материалов на взаимодействие системы теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале с тепловым источником / М. Г. Ордян, В. Е. Петрова // Актуальные проблемы математики и информатики. — Воронеж, 2009. — (Тр. мат. фак.). — № 1. — С. 47−65.

— Ордян М. Г. Задача теплопроводности для биматериала с системой частично теплопроницаемых трещин и тепловым источником / М. Г. Ордян, В. Е. Петрова // Вестник Самарского государственного университета. -Самара, 2009. — (Естественнонаучная серия). — № 4(70). — С. 154−170.

— Ордян М. Г. Задача теплопроводности о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока / М. Г. Ордян, В. Е. Петрова // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. — Воронеж, 2009. — № 1.-С. 141 — 149.

— Ордян М. Г. Термоупругая задача о взаимодействии частично теплопроницамемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока: препринт № 30- НИИМ, Воронеж, гос. ун-т / М. Г. Ордян, В. Е. Петрова. — Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2009. — 34 с.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы вместе с иллюстрациями составляет 120 страниц. Из них 13 занимает список литературы, содержащий 124 наименования. Общее количество иллюстраций — 26.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе сформулированы краевые задачи о взаимодействии системы внутренних трещин с межфазной в биматериале, находящемся под действием теплового потока, или под влиянием теплового источника. Была использована модель частично теплопроницаемых трещин, причем, предполагалось, что теплопроницаемость межфазной трещины и внутренних — разная.

Получены комплексные потенциалы задачи теплопроводности и термоупругости о внутренней и межфазной трещине в биматериале. На их основе построены системы сингулярных интегральных уравнений.

Система сингулярных интегральных уравнений задачи решена методом малого параметра. За малый параметр принято отношение длины внутренней трещины к длине межфазной (считая, что размер межфазной трещины намного превышает размер внутренних трещин). Получены асимптотические аналитические выражения для производных функции скачка температур и разрывов перемещений на линиях трещин с точностью до второго приближения малого параметра.

Получено аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также критического теплового потока в вершинах трещин и проведен параметрический анализ результатов.