Исследование математической модели фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений

Многие математические и технические задачи допускают следующую математическую постановку в терминах теории случайных процессов. На некотором вероятностном пространстве ($ 7, F, Р) задан частично наблюдаемый случайный процесс Zt = (Xt, Yt), t > 0, у которого наблюдаться может лишь вторая компонента Yt, t > 0. В каждый момент времени t требуется, основываясь на наблюдениях У[о^] = {К, 0 < s < ?}, давать оценку (ненаблюдаемых) значений Xt. Эта задача оценивания (иначе — задача фильтрации) Xt по У[о,*] и является предметом рассмотрения настоящей работы.

Хорошо известно, что если E-Xf < оо, то оптимальной в среднеквадра-тическом смысле оценкой Xt является апостериорное среднее rrit = E (XtFf), где Fj = g{uj • Ys, s < t} есть сг-алгебра, порожденная величинами Таким образом, решение задачи оптимальной (в сред-неквадратическом смысле) фильтрации сводится к отысканию условных математических ожиданий rrit = Е (XtFf).

В общем случае эта оценка нелинейно зависит от наблюдений и называется фильтром. Формула Байеса для условного математического ожидания дана в [50] для случая, когда Xt и наблюдаемый «шум» независимы, однако она полезна только для случая фиксированного t. Когда наблюдения поступают непрерывно (как это и происходит в большинстве приложений), то требуется оценка, которую можно непрерывно корректировать, чтобы учитывать новые данные. Формула Байеса не позволяет проводить рекурсивных вычислений подобного рода, так как оценку в момент времени t нельзя эффективно использовать для вычисления оценки в момент t + h. Практический метод, который является также и математически более приемлимым, состоит в том, чтобы вывести стохастическое дифференциальное уравнение для вычисления фильтра и использовать стохастическое исчисление Ито.

В 40-х годах XX века японский математик К. Ито заложил основы теории стохастических дифференциальных уравнений (см. [45]), за которыми впоследствии укрепилось название «стохастические уравнения Ито». В дальнейшем теория уравнений Ито бурно развивалась и продолжает развиваться в настоящее время. С ее современным состоянием можно ознакомиться по монографиям И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [5], К. Ито, Г. Маккина [12], Н. В. Крылова [17], Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [20], С. Ватанабе, Н. Икеды [1] и др.

Первоначально уравнения Ито предназначались для описания на вероятностном языке диффузии в газах и жидкостях (первые варианты такого описания были получены в работах Л. Башелье [37], А. Эйнштейна, М. Смолуховского [35], Н. Винера [63], И. И. Гихмана [4], [5] и др.) Однако впоследствии оказалось, что они являются очень удобным аппаратом для решения многих других физических и инженерных задач. В частности, эти уравнения с успехом применяются в теории управления динамическими системами по неполным данным (см., например, [14], [19], [33]).

Одним из важнейших этапов управления по неполным данным и является «фильтрация» — выделение полезной информации из комбинации «сигнал» +" шум". Эта задача принадлежит к числу классических задач статистики случайных процессов. Первые замечательные результаты, связанные с фильтрацией стационарных процессов, были получены А. Н. Колмогоровым [15] и Н. Винером [64]. После появления работы Р. Калмана и Р. Бьюси [51] в 60−70-х годах XX века бурно развивалась теория фильтрации для систем, динамика которых описывается уравнениями Ито.

Значительные результаты этой теории были получены Р. Ш. Липшером и А. Н. Ширяевым. В монографии [20] этих авторов подробно рассмотрены вопросы оптимальной фильтрации (а также смежные задачи интерполяции, экстраполяции, последовательного оценивания, различения гипотез и т. п.) для случая непрерывного времени. Привлекательность этих задач в случае непрерывного времени объясняется (помимо их собственного интереса) тем, что для них удается получать прозрачные формулировки и компактные формулы. Для условно-гауссовских процессов (0,?) получена замкнутая система уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Тем самым выделен очень широкий класс случайных процессов, для которых удается эффективным образом решить задачу построения оптимального нелинейного фильтра. Помимо фильтрации, в [20] изложены соответствующие результаты для задач интерполяции и экстраполяции. Даются применения теории фильтрации к разнообразным задачам статистики случайных процессов. Подробно рассмотрены задачи линейного оценивания, даются применения к некоторым задачам управления, теории информации. Даны применения к небайесовским задачам статистики (оценки максимального правдоподобия для коэффициентов линейной регрессии, последовательное оценивание и последовательное различение статистических гипотез).

Широкое распространение в приложениях получил метод фильтрации, применимый к процессам, которые описываются линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, так называемый метод Калмана-Бьюси (см. [20]).

Известно (см. [30]), что решение задачи фильтрации для процессов, описываемых уравнениями Ито, эквивалентно решению некоторого уравнения, называемого обычно уравнением фильтрации. Это уравнение фильтрации относится к совершенно новому типу, оно сочетает в себе черты уравнений Ито и уравнений в частных производных. Уравнения такого типа называют стохастическими дифференциальными уравнениями Ито в частных производных.

Как выяснилось, теория фильтрации не обладает монополией на использование уравнений такого типа. Они возникают во многих областях знания: физике, химии, биологии и других.

Наиболее подробно в настоящее время исследованы линейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, которые изучены в монографии Б. Л. Розовского [30]. Общий метод решения таких уравнений был предложен Ф. С. Насыровым [27]. Данный метод основан на теории потраекторных симметричных интегралов [26], которые в случае винеровского процесса являются детерминированными аналогами стохастических интегралов Стратоновича. Ф. С. Насырову с помощью техники симметричных интегралов удалось при определенных условиях свести решение стохастического дифференциального уравнения Ито в частных производных к решению некоторой системы (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных. Ранее в теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений случаи, когда известна явная формула для определения (сильного) решения стохастического дифференциального уравнения, были немногочисленны (см. [1]).

В настоящей работе для решения задачи фильтрации диффузионных процессов применяется новая техника симметричных интегралов по произвольной непрерывной функции, которые, с одной стороны, являются ослабленными вариантами интегралов типа Стилтьеса, а с другой стороны, в случае винеровского процесса, совпадают со стохастическими интегралами Стратоновича.

Цель и задачи исследований. Целью настоящей работы является построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В работе решались следующие задачи.

1. Построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и вывод явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.

2. Получение некоторых способов замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.

3. Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Построены явные формулы для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов. Они позволяют свести решение стохастического дифференциального уравнения для ненормализованной фильтрационной плотности к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных, с помощью которой можно найти явные формулы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов.

Пусть X (t), Y (t) — некоторые диффузионные процессы, которые задаются стохастическими дифференциальными уравнениями Ито: X (t) =X (0) + fic1(8iX (8), Y (s))d8+fid11(8,X (8), Y (s))dw (8) + + tid12(s, X (s), Y (s))dv (s),.

Y (t) =Y (0) + ftc2(s, X (s), Y (s))ds + jtd22(s, Y (s))dv (s), где W (s) = (u-(s), — двумерный винеровский процесс.

Предположим, что диффузионный процесс Y (t) доступен наблюдениям, a X (t) — нет. Наша задача состоит в том, чтобы по значениям Y (t) построить условное распределение случайной величины X (t). Тогда интересующее нас математическое ожидание можно выразить следующим образом:

E (f (X (t))frm) = /д/№(*(<) € dxfr№) = JRf (x) p (t, x) dx, где p{t, x) dx = Р (X (t)? dx (3Ym), p (t, x) = (X (t) < x (3Ym) — нормализованная фильтрационная плотность. Сама p (s, х) может быть найдена следующим образом: p (s, х) = rj (s, х) (Jr ф, x) dx), где rj (s, х) — это ненормализованная фильтрационная плотность, она удовлетворяет так называемому уравнению фильтрации t ф, х) — 77(0, х) = Jq [(a (s, х, Y (s))rj (st х))хх — (b (s, х, Y (s))rj{s, х))х + J* [- ж, ж))®- + h (s, x, Y (s))r](s, x) dv (s), ds+ где, а = ~{(dn)2+ (du)2), b = ci, a = ^ h = Уравнение фильтрации после дифференцирования примет вид:

7](t, х) — 77(0, х) = J* [ajcxfs, х, Y (s))rj (s, х) + 2ax (s, х, Y (s))r?x (s, х)+ a (s, х, У (s))ijxx (s, х) — bx (s, х, Y (s))rj (s, х) — 6(s, х, Y (s))rjx (s, х) ds+ Jo [ ~ ax (S'Х' ~~ У /i (s, ж, y (s))77(s, х) dv (s).

Это уравнение является стохастическим дифференциальным уравнением Ито в частных производных. Таким образом, решение задачи фильтрации сводится к решению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Решение этого уравнения r}(s, x) можно найти как решение r](s, x) = ip (s, х, v (s)) системы дифференциальных уравнений в частных производных ipu = —ах<�р — а<�рх + hip, 4>S = Vxx [а — а2] + <рх [2ах — Ьаах + ah] + ахх — Ьх — ах)2 + hax — аахх + hxa — h2], с начальным условием 99(0, х, ^(0)) = т](0,х).

Найден аналитический метод решения некоторых классов стохастических дифференциальных уравнений в частных производных, с помощью которой и решается уравнение фильтрации.

2. Получены некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах, позволяющие значительно упростить уравнение фильтрации и систему диффенциальных уравнений в частных производных, к которой сводится задача вычисления фильтрационной плотности.

3. Решена задача возмущения локальных времен для выходного сигнала в задаче фильтрации, состоящая в том, что для аддитивной задачи фильтрации вычислено локальное время выходного сигнала в предположении, что «шум» обладает локальным временем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены явные формулы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов, найдена методика решения стохастических дифференциальных уравнений в частных производных с линейными и нелинейными коэффициентами, которая необходима для решения задачи фильтрации, рассмотрены некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах, позволяющие упростить уравнение фильтрации, и решена задача возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.