Распределение значений арифметических функций

Важнейшим вопросом аналитической теории чисел является исследование аддитивной и мультипликативной структур множества натуральных чисел. Основным инструментом для получения результатов в этой области служит теория функций натурального аргумента или теория теоретико-числовых (арифметических) функций.

Мощным методом решения задач теории распределения значений функций вещественной переменной является метод тригонометрических сумм вида.

St=? /(®-1,.|®-г)=? e2*itF (xi,., xr) ^ где наборы (xi,., хг) пробегают значения из дискретного множества fi, t — вещественный параметр и F (x 1,., xr) — веществепнозначная функция.

И.М. Виноградову [1, 2, 3, 4] принадлежат первые постановки задач о распределении значений функций и их решении с помощью метода тригонометрических сумм. Он писал: «Из весьма разнообразных более частных видов этой в столь общей формулировке поставленной проблемы (проблемы распределения значений функций), получаемых при тех или иных ограничениях, налагаемых как на функцию f (xi,., хг), так и на совокупность П, мы выделим три достаточно большие и весьма важные для теории чисел проблемы.

1. Весьма важной является проблема распределения значений показательной функции f (Xl,., xr)=e2*iF^.Ч где F (xi,., xr) — вещественная функциянаиболее существенным в этой проблеме является установление верхней границы модуля суммы п п всех значений f (xi,., xr) в том случае, когда число Т точек совокупности Q. конечно.

2. С рассмотренной проблемой 1 самым тесным образом связана проблема распределения значений дробной части f (x 1, ., хг) = {2 mF (xi,., zr)} вещественной функции F (x, ., хг).

3. Особый интерес представляют законы распределения значений функции /(жi,. ., хг), принимающей для точек (х,., хг) совокупности О, целочисленные значения. Здесь в отношении каждого данного целого N возникает вопрос: для скольких точек совокупности Q, это N будет служить значением функции f (xi,., яг) — иными словами: каково б5гдет число I (N) решений неопределенного уравнения f (xi, ., xr) = N. (*).

В некоторых случаях здесь речь идет только об установлении неравенства I (N) > 0, показывающего, что уравнение (*) разрешимов других случаях оказывается возможным установить для I (N) асимптотическую формулунаконец иногда вопрос сводится о разыскании точного выражения для I (N), и т. д." .

Эти проблемы И. М. Виноградова при соответствующем выборе функции f (x,., xT) и области ?1 приводят к классическим задачам аналитической теории чисел, в первую очередь к проблемам Гольдбаха, Варинга, Гольдбаха-Варинга, Гильберта-Камке, оценкам сумм Г. Вейля и др.

Комплекснозначная функция f (n) натурального аргумента п называется теоретико-числовой .(или арифметической). Если для любых взаимно простых чисел тип справедливо равенство /И/(п) = f (mn), (1) то функция /(п) называется мультипликативной функцией. Если равенство (1) выполняется всегда, то функция называется вполне мультипликативной. 4.

Например, мультипликативной функцией является функция т (п) ~ количество делителей числа п. Для любого натурального числа п имеем т (п) > 2. С другой стороны, известно предельное соотношение.

-— In т (п) In Inn, «limV-= In 2.

In n.

Важной задачей теории арифметических функций является задача нахождения асимптотики их средних значений. Например, для функции т (п) при х оо имеет место асимптотическая формула вида.

— т (п) ~ In X + 27 — 1,.

Х п<�х где 7 = 0,577 215 664 901 532. — постоянная Эйлера.

Тесным образом с рассмотренной выше функцией числа делителей связана функция а (п) — сумма всех делителей числа п, которая также является мультипликативной функцией. Для нее имеют место аналогичные соотношения N ^ 1 Т— а (п) -V 1 V^ / ч 71−2 а{п)>п + 1, lim ——— = е', -> а (п) ~ —-х. к ' - ' п-+ oonlnlnn 12.

Родственной с функцией сумма делителей числа является функция Эйлера <�р (п), представляющая собой количество натуральных чисел, взаимно простых с п и не превосходящих п. Она имеет вид рп г/.

Для нее справедливы соотношения, подобные приведенным выше ч 1.

Другим широким классом являются арифметические функции /(п), которые называются аддитивными функциями, если для любых взаимно простых чисел тип выполняются равенства f (m) + f (n) = f (mn). (2).

Если равенство (2) выполняется всегда, то функция f (n) называется вполне аддитивной.

Первым примером аддитивной функции является функция и (п) — количество различных простых делителей числа п. Здесь также имеют место соотношения, подобные приведенным выше v 1 р— Цп) In Inn 1 win) > 1, lim -:-= 1, -> LO[n) ~ lnlnx. v ' - n-+oo lnn x ^ V 1 n.

В 1917 r. Г. Харди и С. Рамануджан доказали, что для любой положительной неограниченно возрастающей при п —У оо функции ip (n) частота ип{т < п: |из{т) — lnlnn| < ^(n)Vlnnn}, стремится к единице при пУ оо, т. е. для функции и (п) справедлив «закон больших чисел» .

Известно, что для любого фиксированного натурального числа к при п —У оо справедлива асимптотика г / (lnlnn)fc1 ип{т < п: ш (т) — к) к — 1)! Inn'.

Последнее соотношение показывает, что функция ш (п) распределена приблизительно по закону Пуассона с параметром In In п.

Более того, для функции ш (п) имеет место «центральная предельная теорема». Для любого фиксированного х при п оо справедливо предельное соотношение.

Г ш (т) — In Inn 1.. 1 z/" < т < п: ^ 4 — m [e-^du. л/lnln n J уДтг J.

Отметим еще один интересный результат. В 1947 г. В. Левек получил «центральную предельную теорему» для распределения значений разностей и (т) — и (т + 1). Его результат звучит так. При фиксированном значении х и при п —> оо имеет место соотношение и (т) ~ и{т + 1).

В настоящей диссертации мы уделяем особое внимание периодическим арифметическим функциям. Безусловно первым вопросом здесь является исследование среднего значения таких функций на периоде. Например, периодической арифметической функцией является являются символы Лежандра по простому модулю, характеризующие квадратичные вычеты и квадратичные невычеты по этому модулю. К. Ф. Гаусс доказал, что квадратичных вычетов и квадратичных невычетов на периоде поровну, т. е. сумма символов Лежандра на периоде равна нулю.

И.М. Виноградову принадлежат первые задачи по распределению значений периодических арифметических функций на коротких промежутках, т. е. на промежутках, длина которых меньше длины периода. Наиболее известной здесь является проблема оценки сверху величины наименьшего квадратичного невычета по простому модулю. В данной работе методом И. М. Виноградова мы вычисляем константы в неравенствах для средних значений арифметических функций на коротких промежутках. Кроме того, мы находим соответствующие разложения этих функций в ряд Фурье.

Г. Давенпорт и П. Эрдёш поставили и решили первую задачу о распределении квадратичных вычетов и квадратичных невычетов по простому модулю на очень коротком промежутке. Здесь мы в подобной задаче для кратных очень коротких сумм Гаусса получаем асимптотики их моментов.

Сформулируем основные результаты диссертации. Теорема 1.2.2. Пусть т<�х V Pi) где к > 1 — натуральное число, р,., рТ — простые числа, Q = Pi-.-Pr, Q > х > 1 — вещественное число, и а,., аг — целые числа.

Пусть, далее, So (x) = 5('а+0)±5'(:г:~0) периодическая функция с периодом, равным Q.

Тогда функция Sq (x) разлагается в сходящийся ряд Фурье вида.

00 ад = Е п~—оо где коэффициенты Фурье сп имеют вид.

ДА п (п + аЛ (п + аЛ со=5 re) I—)-{—)• а при п ф 0 имеем.

Pi J «'{ рк) е Кроме того, при п ф 0 справедливо неравенство.

Ы < Д п 2пп.

Теорема 1.2.3.Пусть N — натуральное число, T = T (au., ak)=mzxiS (N), где S (N) обозначает сумму.

S (N) = ?

Pi / V Pk J причем ai,., flfe — некоторые целые числа, a pi,. различные нечетные простые числа, Q = р. .pk-Тогда имеет место следующее неравенство.

T<^logQ (l + o (l)).

7 Г.

Теорема 1.3.1.Пусть N — нечетное число, х — целое число, 1 < х < N, и пусть.

G (x) =? е т< х неполная сумма Гаусса. Тогда справедливо неравенство G (x) < ^-Viviogiv.

7Г2.

Теорема 1.3.2.Пусть N — нечетное число, х — целое число, 1 < х < N, и пусть.

ОД =? е т<�х неполная сумма Гаусса, и пусть, , G (x + 0) + G (x — 0) л ^ Go (я) = —-Ч}——0 < х < N, периодическая функция с периодом N.

Тогда имеет место следующее разложение Gq (x) в сходящийся ряд Фурье оо.

Go Or) =? gne2^, n=-00 где коэффициенты Фурье gn имеют вид n G0(x)e~2^ dx. о.

Более точно, имеем m.

Теорема 1.3.3.Пусть N — нечетное число, и пусть.

JL п н =? е н т=1 обобщенная сумм, а Гаусса. Тогда справедливо равенство.

1 -i~N r-Н = —— y/N.

1 + г~г.

Теорема 1.3.4.Пусть р — нечетное простое число, и пусть символ т (х) обозначает неполную сумму Гаусса вида.

Ф) = Е (-) Мр) = G (p) = vVp, т<�х Р / где г] = 1, если р = 1 (mod 4), и rj = i, если р = 3 (mod 4).

Пусть, далее, т0(х) — т (х+(,)+т (х-°) периодическая функция с периодом р. Тогда она разлагается в сходящийся ряд Фурье вида.

00 1 рг го (х) =? tne2^, tn = -j Т0(х)е~™т dx, П— — 00 Р Q где коэффициент to равен р{ П&-Л pjpj.

Далее при п ф 0 имеем.

Теорема 1.3.5. Пусть р — нечетное простое число, и пусть символ т (р2) обозначает сумму Гаусса с характером Дирихле х (г) — х{г т, Р2) по модулю р2 р2.

Т=1.

Пусть, также, при 0 < х < р2 символ т (х) обозначает неполную сумму Гаусса вида т (х) =? х (т)етг^. т<�х.

Пусть, далее, го (гс) = т<�х+°)+г (а:~0) периодическая функция с периодом р2. Тогда она разлагается в сходящийся ряд Фурье вида.

1 } т0(х) =? tne2nl р, tn = - т0(х)е 2ш г dx, n=-00 Р g где коэффициент to равен v2 to =-р ]Т0{х) dx = ?

1 о п<�р2 V).

Далее при пф 0 имеем.

Во второй главе мы находим закон распределения значений остатков при разложении чисел из единичного отрезка в специальной системе счисления.

Пусть задана последовательность вещественных чисел 0п, п = 1,2,., больших единицы. Тогда любое вещественное число а, 0 < а < 1, представляется в следующем виде, а — ^^к Хк+1 где последовательность хп остаточных членов определяется рекуррентными равенствами xiа, х2 = {flizi}, • • • хп+х = {впХп}, -¦-, и последовательность целых чисел Ап определяется так.

Ах = [01з-1],., А" = [впхп],., символы {а}, [а] обозначают дробную и целую части числа, а соответственно.

Здесь мы находим распределение средних значений последовательности остаточных членов хп = хп (а). Для этого мы определяем для любого вещественного числа t € [ОД] периодическую функцию Xt{x) с периодом 1,.

1, если 0 < х < t, ½, если x = Q, t, О, если t < х < 1.

Тогда сумма.

1 N.

SN{a, t) = -Y, Xt{xn), N>l, п=1 представляет собой среднее значение последовательности остаточных членов хп = хп (а).

Имеет место следующая теорема. Теорема 2.1.1. Пусть по крайней мере одно из чисел 01,02, — ¦•, 0п,., будет нецелым числом и 9 = inf {0i,., 0п,.} > 2. Тогда для почти всех чисел, а имеет место следующее предельное равенство lim = a (t), n-*oо где.

В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю, профессору В. Н. Чубарикову за постановку задач и большую помощь в работе.

1. Young W.H. On a certain series of Fourier. — Proc. London Math. Soc. (2) 1913, 11, 357−366.

2. Дирихле ЛеженП.Г. Лекции по теории чисел. — М.-Л.: Объедин. научно-техн. изд-во НКТП, 1936. '.

3. ВенковБ.А. Элементарная теория чисел. — М.-Л.: Объедии. научно-техн. изд-во НКТП, 1937.

4. Davenport H., Erdos P. The distribution of quadratic and higher residues. — Publ. Math., Debrecen. 1952, 2, № 3−4, 252−265.

5. ЛинникЮ.В. Эргодические свойства алгебраических полей. Л.: Изд-во ЛГУ, 1967.

6. ГельфоидА.О., ЛинникЮ.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962.

7. КубилюсЙ.П., ЛинникЮ.В. Арифметическое моделирование броуновского движения. — Изв. вузов. Матем. 1959, 13, № 6, 88−95.

8. КарацубаА.А. Основы аналитической теории чисел, 2-е изд. М.: Наука, 1976.

9. КарацубаА.А. Распределение обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю. — Докл. РАН. 1993, 333, №, 138−139.

10. КарацубаА.А. Аналоги сумм Клоостермана. — Изв. РАН. Сер. матем., 1995, 59, № 5, 93−102.

11. КарацубаА.А. Двойные суммы Клоостермана. — Матем. заметки, 1999, 66, вып. 5, 682−687.

12. ХассеГ. Лекции по теории чисел. — М.: Изд-во ин. лит-ры 1953.

13. Burgess D.A. The distribution of quadratic residues and nonresidues. Math. 1957, 4, Ш, 106−112.

14. Burgess D.A. On character sums and L-series. — Proc. London Math. Soc. (3) 1962, 12, 193−206.

15. Burgess D.A. On character sums and L-series, II. — Proc. London Math. Soc. (3) 1963, 13, 524−536.

16. ЖимбоЭ.К., Чубариков В. Н. Об асимптотических распределениях значений арифметических функций. Докл. РАН., 2001, 377, № 2, 156−157.

17. ЖимбоЭ.К., Чубариков В. Н. О распределении арифметических функций по простому модулю. — Дискретная матем., 2001, № 2, 47−58.

18. БояриновР.Н., Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи. Докл. РАН., 2001, 379, № 1, 9−11.

19. GhyasiA.K. A Generalisation of the Gel’fond Theorem Concerning Number Systems. — Russian Journal of Mathematical Physics. 2007, 14, № 3, 370.

20. ГиясиА.Х. О константах в неравенствах для средних значений некоторых периодических арифметических функций. — Вестник МГУ. Сер.1, мат. и мех. 2007 (в печати).

21. ГиясиА.Х., Чубариков В. Н. Об остаточном члене в формуле суммирования Л. Д. Морделла — Вестник-МГУ. Сер.1, мат. и мех. 2005, № 1, 66−68.