Центральные единицы целочисленных групповых колец знакопеременных групп
Автору удалось получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц. В исследовании применяются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP и разработанные автором программы на Java и С++. В мультипликативной теории групповых колец можно… Читать ещё >
Содержание
- 1. Предварительные сведения и результаты
- 1. 1. Теория центральных единиц
- 1. 2. Теория разбиений
- 1. 2. 1. Графическое представление разбиений
- 1. 2. 2. Бесконечные произведения производящих функций одного переменного
- 1. 2. 3. Асимптотическая формула для р (п)
- 1. 2. 4. Алгоритм нахождения всех разбиений.'
- 1. 3. Применение динамического программирования
- 2. Вычисление рангов U (Z (ZАп))
- 2. 1. Алгоритм для вычисления рангов с использованием параллеле-лизма
- 2. 2. Улучшений алгоритм для вычисления рангов
- 2. 3. Полученные результаты
- 3. Приближенные формулы для рангов U (Z (ZАп))
- 3. 1. Комбинаторный подход
- 3. 2. Рекуррентная формула для г (п)
- 3. 3. Асимптотическая формула для rank (п)
- 3. 4. Вычисление г (moci 4) (п) и rank (п)
- 4. Построение U (Z {ZAn))
- 4. 1. Локальный случай
- 4. 2. Изучение U (Z (ZAU))
- 4. 2. 1. Таблица характеров
- 4. 2. 2. Локальный случай
- 4. 2. 3. Глобальный случай
- 4. 3. Локальные центральные единицы
Центральные единицы целочисленных групповых колец знакопеременных групп (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Диссертация посвящена исследованию вопроса о центральных единицах групповых колец знакопеременных групп.
Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии. В теории групповых колец можно выделить два основных направления: исследование кольцевой структуры и исследование мультипликативной структуры. Данное исследование в основном касается второго направления, то есть изучаются группы единиц (обратимых элементов) групповых колец.
Сначала вопросы мультипликативной структуры колец рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел. Например, теорема Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел, результаты Синнота о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел). Хигман исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.
Классическим объектом исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные характеристики групповых колец конечных групп. Если рассматривать групповые алгебры над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами.
Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц, то получение информации об этой группе является важной задачей при исследовании группы всех единиц. Дополнительную значимость этому придает тот факт, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. Кроме того, полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольших порядков.
В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определен3 ные свойства (свобода, центральность, конечность индекса и др.), и выяснение свойств групп всех единиц.
Автору удалось получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц. В исследовании применяются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP и разработанные автором программы на Java и С++.
Все основные результаты являются новыми. Они позволяют в группах центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп:
• находить центральные единицы;
• строить подгруппы конечного индекса;
• находить ранги групп центральных единиц;
• полностью описывать группы центральных единиц таких колец.
В работе также впервые дано полное описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14.
Результаты диссертации докладывались на VII Международной школе-конференции посвященой 60-летию A.C. Кондратьева (г. Челябинск, 2008), на Международной молодежной школе — конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (г. Новосибирск, 2010), на 40 и 41 молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г. Екатеринбург, 2009, 2010), на I, II и III научной конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ (г. Челябинск, 2009, 2010, 2011). По результатом работы автор неоднократно выступал на городском алгебраическом семинаре (г. Челябинск, 2008;2011).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19]—[26].
Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографии и приложений. Она изложена на 87 страницах, библиография содержит 26 наименований.
1. Липский В. Комбинаторика для программистов / В. Липский // Москва: Мир, 1988.
2. Постников А. Г.
Введение
в аналитическую теорию чисел / А. Г. Постников // Москва: Наука, 1971. Финхтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц // T. II, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
3. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп / Г. Фробениус // Харьков: Гос. науч.-техн. изд Украины, 1937.
4. Шпаковский Г. И. Программирование для многопроцессорных систем в стандарте MPI / Г. И. Шпаковский Г. И, Н. В. Серикова // Минск: БГУ, 2002.63.
5. Эндрюс Г. Теория разбиений / Г. Эндрюс // Москва: Наука, 1982.
6. Aleev R. Z Higman’s central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers / R. Z. Aleev // Intern. J. of Algebra and Сотр., 1994, vol. 4, № 3, p. 309−358.
7. Ayoub R. An introduction to the analytic theory of numbers / R. Ayoub // American mathematical society, 1963.
8. Ferraz R.A. Simple components and central units in group rings / R.A. Ferraz // Journal of Algebra, 2004, vol. 279, № 1, p. 191−203.
9. Flajolet P. Analytic Combinatorics / P. Flajolet, R. Sedgewick // Cambridge University Press, 2009.
10. GAP. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.2- 2004 // http://www.gap-system.org.
11. Rota G.C. The number of Partitions of a Set / G.C. Rota // The American Mathematican Monthly. Huntsville: 1964, vol. 71, № 5, p. 498−504.Работы автора по теме диссертации.
12. А леев Р. Ж. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / Р. Ж. Алеев, А. В. Каргаполов, В. В. Соколов // Фундамент, и прикл. матем. Москва: 2008, том 14, N2 7, с. 15−21.
13. Каргаполов А. В. Параллельный алгоритм для нахождения рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / А. В. Каргаполов // Труды 40-й Всероссийской молодежной конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2009, с. 395−401.
14. Каргаполов A.B. Приближенные формулы для рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / A.B. Каргаполов // Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2010, с. 34−40.
15. Каргаполов A.B. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14 / A.B. Каргаполов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика.». Челябинск: ЮУрГУ, 2011, № 10, с. 18−24.
16. Aleev R.Zh. The ranks of central unit groups of integral group rings of alternating groups / R.Zh. Aleev, A.V. Kargapolov, V.V. Sokolov // Journal of Mathematical Sciences. New York: Springer, 2010, vol. 164, № 2, p. 163−167.