Слабо дополняемые подгруппы и перестановочные инволюции конечных простых групп

В диссертации исследуется вопрос о конечных слабо факторизуемых группах Наряду с гипотезой о слабо факторизуемых конечных простых группах, исследуется и вопрос ограниченности числа конечных простых групп с заданным числом инволюций, сопряженных и перестановочных с фиксированной инволюцией.

По известной теореме Р Брауэра существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [2] Зависимость порядка конечной простой группы от заданных подмножеств централизатора инволюций исследовалась в работах [4], [5], [21].

Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем т в группе G обозначаем через т°, а централизатор tbG — через Cg (t). В. П Шунков ввел параметр вложения инволюции г в группе G, определяя его равенством т) = такдСс (т)П (тст°). geG.

Он разрабатывает обобщение теоремы Брауэра, исходя из предположения:

Существует только конечное число конечных простых групп с заданным параметром вложения инволюции (/21]).

С другой стороны, В. М Левчук высказал следующую гипотезу в [34].

Гипотеза А. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп G с инволюцией т такой, что.

Се (т) П rG < М.

Справедливость гипотезы известна для групп PSLn (q) (краткое обозначение Ln (q)) с четными q, для знакопеременных групп и для групп лиева типа ранга 1 [4], [5]. По модулю классификации конечных простых групп гипотезу остается подтвердить для бесконечных семейств групп лиева типа.

Как отмечается в [4], из справедливости гипотезы 1 следует справедливость и предположения Шункова Число |Сд (т) П тс | называют сопряженно-коммутативной шириной инволюции т в группе G и обозначают через ccw (G, t). В терминах ширины неравенство из гипотезы, А можно заменить неравенством ccw (G, т) <М.

В диссертации гипотеза, А исследуется для групп Шевалле исключительных типов.

Центральное место в диссертации занимают исследования вопроса о конечных слабо факторизуемых группах Наряду с гипотезой о слабо факторизуемых конечных простых группах.

Напомним, что подгруппу М называют дополняемой в группе G, если в G существует дополнение к ней, то есть подгруппа К такая, что М П К = 1 и МК = G Слабо дополняемой в G назовем подгруппу, которая дополняема в некоторой большей (по включению) подгруппе или совпадает с G.

Группы с дополняемыми подгруппами, называемые вполне факторизуемыми, изучены в работах Ф Холла [30], Н В Баевой (Черниковой) [1] и С. Н Черникова [20], [19] Они исчерпываются полупрямыми произведениями F X К подгрупп F и К, разложимых в прямое произведение конечных циклических групп простых порядков, причем все сомножители в F можно выбрать нормальными в группе.

Более широкий класс образуют слабо факторизуемые группы, то есть группы со слабо дополняемыми подгруппами К ним относятся, например, конечные группы простого показателя, существенность условия конечности показывает пример бесконечной р — группы Ольшанского с максимальными подгруппами простого порядка р Более двадцати лет остается открытым вопрос 8 31 из Коуровской тетради об описании конечных слабо факторизуемых групп.

Как показывает пример группы ½(7), класс конечных слабо факторизуемых групп включает даже простые неабелевы группы, в отличие от класса вполне факторизуемых групп В диссертации исследуется следующая гипотеза к вопросу 8 31, которую В. М Левчук высказал в 2003 году.

Гипотеза В. Группа ½(7) — единственная конечная простая неабелева группа со свойством слабой факторизуемости.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы Нумерация теорем, определений и др включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

1. Баева Н. В. Вполне факторизуемые группы // Докл АН СССР- 1953 — Т 92 — № 5 — С 877−880.

2. Брауэр Р О строении групп конечного порядка // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 — М Физматгиз, 1961. С. 23 35.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы IV-VI). — М: Мир, 1982.

4. Голованова О В, Левчук В М Зависимость порядков конечной простой группы и пересечения централизатора и класса сопряженных элементов инволюции // Известия Гомельского государственного университета — 2006 — Т 3 — N° 36 — С 124- 130.

5. Голованова О В. Параметры вложения инволюций конечных простых групп лиева типа ранга 1 // Вестник КрасГУ Красноярск КрасГУ 2006 — № 4 — С. 49 — 54.

6. Джекобсон Н. Алгебры Ли — М. Мир, 1964.

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю И. Основы теории групп 4-е изд М. Наука, 1996.

8. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). 14-е изд Новосибирск: ИМ СО РАН 1999.

9. Левчук В М, Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика-1990 Т29 — № 2. — (Ч I) -С 141−161.

10. Левчук В. М. Нужин Я.Н. О строении групп Ри //Алгебра и логика 1985 — Т 24. — № 1 — С 26−41.

11. Левчук В. М Об аппроксимируемости свободных групп группами PSL (3,q) при нечетном q // Сб Алгебра Вложение группАлгоритмические вопросы Красноярск. ИФ СО АН СССР — 1970 С. 71−93.

12. Левчук В. М. О слабо факторизуемых группах. //Мат. заметки.— 2003. Т. 73. — № 4 — С 565 -572.

13. Нужин Я. Н. О строении групп лиева типа ранга 1 // Мат заметки 1984 — Т 36. — №.- С 149−158.

14. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли — М Мир, 1969.

15. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле — М • Мир, 1975.

16. Сыскин С. А. Абстрактные свойства простых спорадических групп // Успехи матем наук.— 1980 — Т. 35 — № 5(215).— С 181 212.

17. Тютянов В. Н., Конечные группы с дополняемыми подгруппами // Известия Гомельского гос. университета —2006 — Т 3 — № 36 -С 178 182.

18. Холл М. Теория групп М. ИЛ, 1962.

19. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп — М. Наука. 1980.

20. Черников С. Н. Группы с системами дополняемых подгрупп // Матем. сб 1954 — Т 35(77).- № 1 — С 93−128.

21. Шунков В. П Группы с инволюциями // В сб тезисов докл. международ сем по теории групп. — Екатеринбург ИММ УрО РАН.- 2001 С 245.

22. Aschbacher М. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent Math 1984 — V. 76 — P 469−514.

23. Aschbacher M, Seitz G.M. Involutions m chevalley groups over fields of even order 11 Nagoya Math J 1976 — V 63 — P 1−91.

24. Bloom D The subgroups of PSL (3, q) for odd q // Trans Amer Math. Soc 1967. V. 127, — № 1- P. 150−176.

25. Carter R. Simple groups of Lie type — New York Wiley and Sons, 1972.

26. Conway J.H., Curtis R T, Norton S.P., Parker R.A. and Wilson R A. An ATLAS of finite groups // Oxford univ. press — 1985.

27. Enomoto H The conjugace classes of Chevalley groups of type (G2) over finite fields of characteristic 2 or 3 // Fac Sci Univ Tokyo.— 1970. Vol.16 — P.497—512.

28. Guterman. A characterization of the groups ^4(2″) //J. Alg —1972 -V. 20, — P 1−23.

29. Hartley R. W Determination of the ternary eollineation groups whose coefficients lie in the GF (2n) //Ann Math 1925 — V 27 — P. 140−158.

30. Hall Ph. Complemented groups //J. London Math Soc —1937 — V 12. P 201−204.

31. Ito N. On the factorizations of the linear fractional group LF (2,pn). 11 Acta Sci. Math 1953. V 15 — № 1 — P. 79−84.

32. Key J. D. Some maximal subgroups of PSL (n, q), n > 3, q = 2r. // Geom. de die 1975. V. 4 — № 2−4 — P 377−386.

33. Kleidman P., Liebeck M. W. The subgroup structure of the finite classical groups // London math soc lecture notes, Cambridge university press — 1990 — № 129.

34. Levchuk V.M. Growth of the intersection of the centralizer of an involution and its class of conjugated elements in finite simple groups// Proc Int Conf. «Antalya Algebra Days VIII». — Istanbul Bilgi Univ.- 2006 P 26.

35. Liebeck M W., Praeger С E, Saxl J. The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups // Amer math society -1990 V 86 — № 432.

36. Mitchell H. H Determination of the ordinary and modular ternary linear group // Trans Amer Math Soc — 1911 — V 19. — K°2 P 207−242.

37. Mwene В On the subgroups of the group PSL (4,2m). // J Alg -1976 V. 41. — P. 79−107.

38. Parrot G A characterization of the Ree groups 2Fi (q) //J. Alg — 1973.-V 27-P 341- 357.

39. Suzuki M On a class of doubly transitive groups. //Ann Math — 1962 V 75. № 1 — P. 105−145.

40. Thomas G. A characterization of the group G2(2n) // J Alg —1969 — V 13. P 87−118.

41. Tits J. Theoreme de Bruhat et sous-groupes paraboliques C. R Acad Sci Paris -1962 — 294. No 16 P. 2910−2912РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

42. Лихарев, А Г. О слабо факторизуемых группах лиева типа малых рангов и спорадических группах. // Algebra and model Theory 4 Новосибирск НГТУ- 2003. С. 56−61.

43. Лихарев, А Г О конечных слабо факторизуемых группах. // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета Тезисы докладов. М.: Мехмат МГУ.- 2004 С 88−89.

44. Лихарев, А Г О слабо факторизуемых группах лиева типа малых рангов. Int Conf. «Алгебра, логика и кибернетика». Иркутск ИГПУ — 2004 —С 243.

45. Лихарев, А Г. Простые конечные слабо факторизуемые группы // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100 — летию П. Г Конторовича и 70 — Л. Н. Шеврина Тезисы докладов. Екатеринбург. УГУ — 2005.— С 58−59.

46. Левчук В М, Лихарев, А Г Конечные простые группы с дополняемыми максимальными подгруппами // Сиб мат журнал 2006 — Т47- № 4. — С.798−810.

47. Лихарев А. Г. Ограниченность сопряженно-коммутативной ширины инволюции в группах Шевалле // Препринт № 4 -Красноярск ИВМ СО РАН 2006.