Напряженно-деформированное состояние интраокулярных линз

Актуальность. В настоящее время концепции механики деформируемого твердого тела широко применяется в различных областях медицины, в том числе и в офтальмологии*1. Создание математических моделей глазных болезней, согласованных с законами биомеханики, физиологии и биохимии, позволяет, в ряде случаев, находить наиболее эффективные способы их лечения [2, 3, 7].

Исследования Всемирной организации здравоохранения (ВОЗ) свидетельствуют о том, что ныне в мире насчитывается свыше 45 миллионов слепых и 135 миллионов людей с серьезными дефектами зрения. При этом основной причиной потери зрения является катаракта (рис. 1). Число ослепших вследствие данного недуга составляет более 20 млн. человек [8, 15, т другие 13% макулярная дегенерация детская слепота 4% диабетическая рет. 5% помутнение роговицы 5%.

1%.

47% катаракта онхоцеркоз глаукома.

Рис. 1.

Причины потери зрения в мире. трахома.

Термин «катаракта» (гр. catarrhakt6s — водопад) означает помутнеофтальмология (гр. ophthalmos — глаз) — раздел медицины, изучающий анатомию, физиологию, а также болезни органа зрения, методы их лечения, диагностики и профилактики [31]. ние хрусталика глазного яблока. Само помутнение может достигать различной интенсивности в той или иной части хрусталика, что приводит к постепенному снижению зрения, вплоть до полной слепоты [8, 14, 34, 38].

Долгое время в офтальмологии предпринимались многочисленные попытки найти терапевтические методы лечения и предупреждения катаракты [17, 38, 43]. К сожалению, все они оказались мало эффективными. В настоящее время существует единственный (хирургический) способ лечения данного заболевания, который заключается в замене помутневшего естественного хрусталика прозрачным искусственным — так называемой, ин-траокулярной линзой (ИОЛ) [4, 30, 35].

ИОЛ состоит из двух частей: оптической, представляющей собой центральную линзу, которая фокусирует изображение на сетчатку, и опорных элементов, называемых гаптикой.

На сегодняшний день существует множество моделей интраокуляр-ных линз, которые отличаются по способу фиксации в глазном яблоке и по конструкции опорных элементов [30, 33, 38, 40].

Особый интерес для медицинской практики представляет выбор оптимальной конфигурации интраокулярной линзы и материала для ее изготовления. При этом основными критериями оптимальности ИОЛ являются, во-первых, ее прочность, во-вторых, возможность наилучшей фиксации в глазном яблоке, что определяет остроту зрения пациента после операции, и, наконец, в-третьих, биологическая инертность материала линзы.

В данной работе проводится исследование современных интраокуляр-ных линз с четырьмя (рис. 2) и двумя (рис. 3) опорными элементами (Сообразная гаптика), которые имплантируются в капсулу хрусталика. На данный момент именно они, в основном, используются в офтальмологической практике.

Рис. 2.

Интраокулярная линза с четырьмя опорными элементами.

Рис. 3.

Интраокулярная линза с двумя опорными элементами (С-образная гаптика).

С точки зрения механики деформируемого тела, оптическую часть современных ИОЛ можно считать тонким изотропным диском постоянной толщины. В свою очередь гаптику интраокулярной линзы с четырьмя опорными элементами естественно рассматривать как совокупность четырех плоских рамв случае С-образной гаптики — как два тонких криволинейных стержня, жестко заделанных на контуре диска и абсолютно свободных на другом конце.

После установки ИОЛ в капсуле хрусталика её опорные элементы оказываются изогнутыми. В местах их соединения с оптическим диском возникают реакции взаимодействия — сосредоточенные силы и моменты. Следовательно, оценка напряженно-деформированного состояния интраокулярной линзы состоит в определении полей напряжений и перемещений в диске и в анализе прогибов и изгибающих моментов в опорных элементах. Следует особо подчеркнуть, что в хирургической практике неоднократно отмечались случаи отрыва опорных элементов от контура оптического диска [1].

Таким образом, исследование напряженно-деформированного состояния интраокулярных линз является актуальной проблемой, представляющей интерес как для механики деформируемого твердого тела, так и для офтальмологической практики.

Цель работы состоит в построении математических моделей, позволяющих оценить прочность двух типов искусственных хрусталиков (рис. 2 и рис. 3), наиболее часто используемых в операциях по устранению катаракты.

При анализе напряженно-деформированного состояния современных интраокулярных линз с четырьмя и двумя опорными элементами были поставлены следующие задачи:

1. Определить поля упругих напряжений и перемещений, возникающие в оптическом диске под действием сосредоточенных сил и моментов;

2. Решить геометрически нелинейную задачу о плоском изгибе криволинейного стержня, жестко защемленного на одном конце и загруженного сосредоточенной силой на другом;

3. Проанализировать напряженно-деформированное состояние гапти-ки ИОЛ с четырьмя опорными элементами;

4. Провести экспериментальные исследования прочности интраоку-лярных линз с С-образной гаптикой.

Методы исследования. При анализе поставленных задач применялись методы, предложенные в работах Г. В. Колосова [9, 10], Н. И. Мусхе-лишвили [26], В. В. Новожилова [27], Хана X. [36], С. Д. Пономарева, В. Л. Бидермана, К. К. Лихарева, В. М. Макушина, Н. Н. Малинина, В. И. Феодосьева [29] и других авторов.

В частности, методами теории функций комплексного переменного найдено точное аналитическое решение плоской задачи теории упругости для диска, на контуре которого действуют сосредоточенные силы и моменты.

На основе нелинейной теории изгиба тонких криволинейных стержней проведено исследование напряженно-деформированного состояния опорных элементов интраокулярной линзы с С-образной гаптикой.

Соотношения строительной механики стержневых систем использованы при анализе распределения упругих напряжений в гаптике ИОЛ с четырьмя опорными элементами.

Проведены специальные эксперименты по оценке прочности узла соединения оптического диска и опорного элемента.

Научная новизна. Автором получены следующие новые результаты:

1. Определены потенциалы Г. В. Колосова Ф (г) и ^(z) для диска, загруженного системой самоуравновешенных моментов;

2. Выведены точные аналитические выражения для компонент напряжений и перемещений в диске, на контуре которого действуют сосредоточенные нагрузки (в декартовой и в полярной системе координат);

3. Составлены компьютерные программы и произведены вычисления компонент тензора напряжений и вектора перемещений в диске ИОЛ;

4. Получено аналитическое решение геометрически нелинейной задачи о плоском изгибе С-образной гаптики интраокулярной линзы;

5. Проведены эксперименты по определению прочности опорных элементов искусственного хрусталика.

Достоверность основных научных положений основана на строгой физической постановке соответствующих задач и корректных математических методах, использованных при их решении. В частных случаях расчеты по выведенным теоретическим зависимостям были сопоставлены с решениями других авторов. Экспериментальные результаты подтвердили достоверность основных положений диссертационной работы.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Решение плоской задачи линейной теории упругости для диска, на контуре которого действует самоуравновешенная система восьми или двух сосредоточенных сил и моментов.

2. Аналитическое решение геометрически нелинейной задачи о плоском изгибе тонкого криволинейного стержня, заделанного на одном конце и загруженного сосредоточенной силой на другом.

3. Анализ напряженно-деформированного состояния гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами.

4. Результаты экспериментальных исследований прочности интраоку-лярных линз.

Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться на практике для оценки прочности и жесткости современных интраоку-лярных линз. Разработанные в диссертации методы решения плоской задачи теории упругости для диска используются в учебном процессе на факультете прикладной математики — процессов управления (в курсе лекций «Теория функций комплексного переменного»).

Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела (2007 — 2009 гг.), научных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ (2007 г., 2009 г.), городском семинаре «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.), конференции «Физика конденсированного состояния» (г. Гродно, Республика Беларусь, 2008 г.), Международных конференциях «Актуальные проблемы прочности» (г. Нижний Новгород, 2008 г., г. Киев 2010 г.), Санкт-Петербургских чтениях по проблемам прочности (2010 г.). В целом диссертация докладывалась на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела СПбГУ, кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного горного университета, кафедры сопротивления материалов СПбГТУ (Политехнический университет).

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ [6, 1825], из них две [6, 18] в журналах, рекомендованных ВАК Российской Федерации. В статье [6], написанной в соавторстве, автору принадлежит вывод формул для напряжений и перемещений, проведение численных расчетов и составление соответствующих компьютерных программ.

Поддержка. Исследования диссертанта на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ № 06−01−171-а, № 08−01−394-а, № 10−01−93-а, грантом Правительства Санкт-Петербурга (№ 2.2/30−04/008 проект «Напряженно-деформированное состояние интраокулярных линз»), НИР факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ «Нелинейная механика твердого деформируемого тела».

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы, насчитывающего 53 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации проведено исследование современных интраокулярных линз с четырьмя и двумя опорными элементами, наиболее часто применяемых при хирургическом лечении катаракты. Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Методами теории функций комплексного переменного найдено точное аналитическое решение плоской задачи линейной теории упругости (в декартовой и полярной системе координат) для оптического диска ИОЛ, загруженного на контуре самоуравновешенными сосредоточенными силами. Представленные графики позволяют определить характер распределения напряжений в местах соединения опорного элемента с оптическим диском.

2. Выведены формулы для комплексных потенциалов Г. В. Колосова Ф (г) и Ч'(г) в случае, когда на контуре диска приложена система двух и восьми самоуравновешенных сосредоточенных моментов.

3. Решения, полученные для оптического диска, загруженного двумя сосредоточенными силами и моментами, сопоставлены с аналогичными результатами для полуплоскости. На основе построенных графиков и приведенных таблиц выявлены границы совпадения значений нормальных напряжений, возникающих в диске и полуплоскости.

4. С помощью соотношений строительной механики стержневых систем произведена оценка напряженно-деформированного состояния гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами, представимой в виде совокупности четырех плоских трапециевидных рам. Выведены формулы и построены соответствующие графики для напряжений и прогибов стержней, входящих в состав этих рам. Полученные результаты позволяют утверждать, что оптимальной конструкцией для данного типа опорных элементов является П-образная рама.

5. Выполнена экспериментальная оценка деформированной конфигурации опорных элементов интраокулярной линзы с С-образной гаптикой. Построены графики изменения деформации в зависимости от нагрузки.

6. Проведены экспериментальные исследования по определению прочности составных и монолитных интраокулярных линз. Установлено, что, в отличие от монолитных искусственных хрусталиков, у составных ИОЛ не происходит разрушения опорных элементов после многократного нагружения.

7. Сравнительный анализ двух типов интраокулярных линз свидетельствует о том, что жесткость гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами существенно выше жесткости опорных элементов искусственного хрусталика с С-образной гаптикой.