Моделирование механических свойств наноструктурированных сред на основе континуальной модели адгезионных взаимодействий

В настоящее время существует несколько подходов к построению моделей сред с учётом свойств поверхностей (адгезионных свойств). Во-первых, существует подход к моделированию адгезионных (поверхностных) взаимодействий в рамках механики деформированного твёрдого тела основанный на введении дополнительных определяющих соотношениях на поверхности сред. В моделях такого типа предполагается, наличие поверхностных напряжений, связанных с деформациями дополнительными определяющими соотношениями. При этом поле перемещений и деформаций в среде сохраняется непрерывным. По заданным физическим соотношениям строится потенциальная энергия, которая включает в себя дополнительную поверхностную часть, связанную с поверхностными напряжениями.

С другой стороны, в настоящее время развивается вариационный подход к построению моделей континуальных сред и, в том числе, моделей адгезии, основанный на «кинематическом» вариационном принципе. Данный подход позволяет по заданным кинематическим связям в объёме среды и на поверхности определить вид объёмной плотности лагранжиана модели, в предположении линейности процессов. Определяющие соотношения модели следуют из формул Грина, как условия существования потенциальной энергии. Постановка задачи и естественные граничные условия следуют из условия стационарности лагранжиана. Отметим, что в моделях адгезии, аналогично с классическим обобщённым законом Гука, физические соотношения на поверхности вводятся (или следуют из общего вида потенциальной энергии), как линейные соотношения между соответствующим типами деформаций и напряжений. Коэффициенты пропорциональности в данных соотношениях называются поверхностными модулями.

Одна из задач диссертации состоит в сравнении описанных двух подходов к построению моделей адгезии и демонстрации возможностей вариационного подхода к построению энергетически согласованных обобщённых моделей сред с учётом адгезии, учитывающих наиболее полный спектр поверхностных взаимодействий.

В рамках диссертации будут рассмотрены прикладные вопросы моделирования эффективных механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микрои наноструктуре, керамик).

В первом разделе диссертации изложены теоретические' аспекты теории адгезии. Продемонстрирован вариационный подход к построению континуальных энергетически-согласованных моделей адгезии. Получены вариационные формулировки известных моделей адгезии (модель поверхностного натяжения и «пружинная» модель). Показано, что модель поверхностного натяжения, построенная с использованием гипотезы Янга-Лапласа является частным случаем «обобщённой» модели адгезии. Также продемонстрирована техника построение градиентной модели межфазного слоя с учётом адгезии. Показано, что в рамках градиентной модели адгезионные эффекты являются следствием учёта полей дефектов в объёме среды и адгезионная градиентная модель полностью включает в себя классическую модель адгезии, при этом расширяя её на учёт адгезионных эффектов по нормали к поверхности. Также в первом разделе изложен физических смысл и трактовка адгезионных модулей, показана их аналогия с классическими физическими модулями.

Во втором разделе диссертации рассмотрены важные с прикладной точки зрения модельные задачи с учётом адгезии. Проведено исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микрои нановключениями, керамических материалов).' Продемонстрирована возможность адекватного описания свойств наноструктрированных сред в рамках континуальных моделей с учётом адгезии. Доказывается, что известные ранее модели адгезии являются частным случаем общей модели адгезии и могут быть получены на основе предельного перехода. Исследуется влияние адгезионных параметров на эффективные свойства гетерогенных структур. Определены допустимые значение поверхностных модулей. Проведено моделирование эффекта отклонения от закона Холла-Петча в отношении жесткостных свойств мелкозернистых материалов. Показана согласованность исследуемой модели с молекулярной динамикой. Проведена идентификация параметров на основе методов МД. Показано, что в рамках одномерной модели с учётом адгезии возможно моделирование угла мениска и эффекта волнообразования на поверхности твёрдых тел. Данный эффект предложен для идентификации адгезионных свойств. Проведено качественное исследование моделей тонких пластин с учётом адгезии. Построена модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках градиентной теории межфазного слоя. Решена задача цилиндрического изгиба адгезионных пластин в рамках различных теорий адгезии и установлена возможность моделирования свойств ультра-тонких пластин и структур типа графена. Предложена приближённая модель учёта масштабных, градиентных и адгезионных эффектов. Показана достоверность данной модели и проведено численное моделирование механических свойств композитов с наноразмерными включениями.

В нижеследующем разделе приведён обзор основных работ, относящихся к тематике диссертации.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

Поверхностные свойства и энергия поверхностного взаимодействия являются одним из ключевых факторов, определяющих характеристики и свойства наноструктурированных материалов (композиты с микрои наноразмерными включениями, слоистые структуры, тонкие плёнки, покрытия и др.) используемых в современном машиностроении.

Построение моделей сред с учётом свойств свободных и внутренних межфазных поверхностей является важной задачей, решаемой, в настоящее время, с помощью-различных подходов, таких как: термодинамическая теория поверхности, теория упругости с учётом поверхностных взаимодействий, градиентная теория упругости, контактная теория упругости, трибология, физика и химия поверхности и Др.

Исторически, первые работы по исследованию поверхностных явлений относятся к 17−18 векам [1,2], когда впервые было введено понятие поверхностного натяжения для жидких сред. Позднее, теория поверхностного натяжения получила развитие в работах Юнга[3], Лапласа [4], Пуассона [5] и др., на основании представлений о межмолекулярных взаимодействиях. Понятие поверхностной энергии впервые было введено Гауссом в 1830 году [6]. Классическая термодинамика поверхности была сформулирована Гиббсом в работе 1876 года [7]. Дальнейшее развитие термодинамическая теория поверхности получила в работах Шатлворта [8], Херинга[9], Орована[ 10], Каммарата[ 11] и др.

МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ (ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН.

ЛАПЛАСА-ЯНГА).

Модель среды с учётом поверхностных эффектов в рамках теории упругости впервые была предложена в работах Гуртина и Мурдоха [12,13], где для учёта поверхностных эффектов были использованы модифицированные контактные условия в виде закона Лапласа-Янга.

На контактной поверхности ставилось условие, связывающее скачок в нормальных напряжениях с дивергенцией поверхностных напряжений: [а]-п = -75Т где [с] = сг2 — ох — разность напряжений на границе в контактирующих фазахпвнешняя нормаль к поверхностиV5тдивергенция тензора поверхностных напряжений.

Определяющие соотношения были заданы по аналогии с классическим законом Гука в объёме среды, в виде линейного соотношений между поверхностными напряжениями и деформациями. При этом взаимодействия на поверхности характеризовались двумя поверхностными упругими модулями, и, кроме этого, в определяющие соотношения был добавлен параметр, отвечающий за поверхностное натяжение, благодаря чему из модели следовало, что на границе среды всегда присутствуют напряжения поверхностного натяжения, даже в отсутствии деформаций. о, =т°4- + 2(я,-Т°)?и,.

Где т°- поверхностное натяжение среды действующее в отсутствии внешних нагрузок, Я5- поверхностные аналоги коэффициентов Ламе,, (Т^ - тензор деформаций и напряжений на поверхности среды, 8 -символ Кронекера.

При этом деформации поверхности определялись, как деформации на границе среды, получаемые из решения уравнения равновесия в объёме среды, то есть на границе выполнялось условие полного контакта среды по перемещениям. В рамках описанного подхода, граничные условия отличаются от классических и включают в себя поверхностные напряжения. Упругие поверхностные постоянные не зависят от объёмных характеристик среды и являются новыми физическими постоянными среды, которые, по своему физическому смыслу, зависят только от характера межатомных взаимодействий на поверхности среды.

Обобщённый закон Лапласа-Янга, в котором учитывается как скачок в нормальных напряжениях, так и скачок в касательных напряжениях на границе сред, был предложен в работе [14]. п'[&]-п = —тк.

Р = /(2) — п ® п — тензор проекции на поверхность контакта, /(2) — определяющий тензор второго порядка в трёхмерном пространстве, к — тензор кривизн.

В работах 115,16] были введены определяющие соотношения на поверхности в виде тензорных соотношений между напряжениями и деформациями:

• + Зу"т?пт П5] И ^ [16].

Гд妦 8ут-тензор поверхностных модулей.

В случае изотропной поверхности и определяющие: соотошения записываются в виде [15]: «'.

Для изотропной поверхности, в рамках классической теории упругости тензор упругих поверхностных модулей содержит два физических5 модуля, отвечающих за деформации растяжения исдвига (соответственно, Л3 и Таким образом, было показано, что на: поверхности возможны не только деформации растяжения (поверхностное натяжение), как было в термодинамической теорииповерхности, но и деформации, сдвига. Более полныйвариант определяющих соотношений на поверхности был предложен в работе. [17], где было показано, что тензор поверхностных модулей упругости для изотропной поверхности содержит в себе три постоянные, отвечающихза деформации’растяжения, сдвига и изгиба поверхности. В случае нессиметричной теории упругости (среда Коссера) присутствует также четвёртый поверхностныйпараметр, отвечающий за спиновые деформации. Поверхностные модули могут быть как положительными,.так и отрицательными, в зависимости от свойств контактирующих поверхностей [15]. Вычисление или. экспериментальное получение значений поверхностных модулей является отдельной важной задачей в механической теории поверхности. Примеры вычисления поверхностных упругих модулей на основе молекулярной динамики! для свободной.

10 поверхности алюминия можно найти в работе [15,18]. Другой подход к вычислению поверхностных характеристик основан на их сопоставлении с характеристиками межфазного слоя конечной толщины и вычислении скачка в напряжениях или перемещениях при переходе через поверхность контакта, как разность между значениями напряжений или перемещений на границах межфазного слоя (см., например, работы [19−22]).

Подробное обсуждение вопроса об определении поверхностных характеристик также можно найти в работах [13, 15, 23].

Начало широкого применения теории упругости с учётом поверхностных эффектов к решению прикладных задач относится к 90-ым годам двадцатого века, когда возникла потребность прогнозирования свойств микрои нано структурированных сред и композитов с наноразмерными включениями (фуллеренами, наноразмерными порами, углеродными нанотрубками и проч.). Приведённая выше модель, основанная на введении в качестве модифицированных граничных условий обобщённого закона Лапласа-Янга в форме, приведённой в [14] и на добавлении определяющих физических соотношений на поверхности [16], нашла широкое применение при моделировании наноструктурированных сред и сред с нановключениями, так как модель позволяет учитывать масштабные эффекты [15, 2429]. Масштабными параметрами модели являются кривизны, входящие в обобщённый закон Лапласа-Янга, и поверхностные модули, размерность которых отличается от физических модулей в объёме на масштаб длины [27]. В работе [35] приводится решение задачи об определении эффективного модуля Юнга пористого материала, и оказывается, что при учёте свойств внутренних поверхностей пор эффективный модуль зависит от размера пор. Этот результат принципиально не может быть получен в рамках классической механики композитов, где влияние пор учитывается только через их объёмное содержание в материале. В работе [27] приводятся данные по моделированию композита с нановключениями и демонстрируется зависимость механических постоянных от масштабных параметров задачи. В статье [29] показано, что тензор Эшелби в задаче удалённого включения, погруженного в матрицу, будет включать в себя масштабные параметры, а именно кривизны контактной поверхности. Также, в [29] показано, что в отличие от классической теории упругости, при учёте поверхностных свойств, однородное напряжённое состояние во включении при однородном внешнем поле напряжений реализуется только в случае включений с постоянной кривизной, а именно в сферических и цилиндрических включениях.

В работе [106] были получены решения в замкнутой форме для определения эффективных модулей упругости среды со сферическими включениями в рамках самосогласованного метода и метода Мори-Танака.

В работах [107,108] решались задачи динамики в применении к колебаниям нанозёрен [107] и наночастиц [108], исследовались собственные частоты наночастиц с учётом поверхностных напряжений.

Во многих работах на основе модели с учётом поверхностных свойств решаются задачи о моделировании свойств нанообъектов. В частности, в работах [15, 24, 25, 30, 31] решается задача о моделировании упругих свойств нанотрубок с учётом свойств поверхностей.

Применение модели в области пористых материалов демонстрируется в [27, 3235].

Определение эффективных свойств и НДС в различных гетерогенных материалов является перспективной и важной задачей в рамках моделей с учётом адгезионных взаимодействий. В работах [109−113] определялись величины поверхностных напряжений, возникающих на границах контакта фаз в слоистых полимерных [109] и металлический [110−113] структурах.

Задачи термоупругости с учётом поверхностных свойств сред впервые были рассмотрены в работах [36, 37], и в дальнейшем развивались в работах [38−44]. В работе [44] решена задача об определении эффективного коэффициента термического расширения (КТР) композита с нановключениями и получена формула Левина, связывающая КТР и модули упругости композита, и соотношение Хилла для композита с волокнами (формулы связи между эффективными упругими характристиками волокнистого материала) с учётом поверхностных эффектов.

Модель тонких пластин с учётом адгезионных эффектов в рамках теории Кирхгоффа впервые была построена в работах [17]. Вариант модели с учётом только поверхностного натяжения и без учёта изгибных свойств поверхностей был также изложен в работе [45]. В указанных статьях был впервые отмечен важный вклад адгезионных параметров в упругие свойства тонких пластин. Было показано, что при учёте адгезии видоизменяется как цилиндрическая жёсткость пластины [17] и [45],.

12 так и общий вид уравнений равновесия модели [17]. При этом влияние адгезионных эффектов увеличивается именно для пластин малой толщины и становится определяющим для наноразмерных пластинчатых объектов. Модель теории оболочек с учётом поверхностных напряжений исследовалась в работах [114, 115].

Адгезионные модули являются масштабными параметрами модели, так как имеют размерность, отличную от размерности модулей упругости в объёме (Н/м) и позволяют учитывать масштабные эффекты. Закон масштабирования, в рамках модели поверхностного натяжения был получен в работах [116,117] и также обсуждался в работе [118], в применении к задаче о нановключении. Для случая нелинейной деформации с учётом поверхностных эффектов закон, масштабирования был получен в работе [119].

Существование формализма Эшелби для модели поверхностного натяжения было показано в работах [120, 121] в задачах сферического и цилиндрического включения. По аналогии с классической моделью, было доказано существование однородного поля напряжений внутри включения, обладающего собственными поверхностными свойствами, в случае наличия заданного однородного поля напряжений на бесконечности.

В работе [122], был проведён анализ влияния поверхностных напряжений на деформации вблизи эллиптической поры и было получено аналитическое решение данной задачи. I.

Вариант метода конечных элементов с учётом поверхностных эффектов был предложен в работе [123], где к общей потенциальной энергии среды была добавлена потенциальная энергия поверхностных деформаций. В данной работе было проведено моделирование деформационного поведения металлов в упругой и пластической зоне, и было показано, что в случае пластичности эффекты адгезии начинают играть роль для масштабов структуры порядка десятков микрон, а в случае упругости поверхностные эффекты оказывают существенное влияние для структуры с масштабом порядка десятков наноматеров.

Модели с учётом поверхностного натяжения также применяются в рамках механики разрушения. Аналитические решения задач с трещиной в рамках модели поверхностного натяжения были получены в работах [124, 125] и было показано, что в случае учёта поверхностных эффектов, напряжения в вершине трещины остаются конечными.

Также следует отметить работу [126], где выполнен обзор по публикациями, посвященным моделям с учётом поверхностного натяжения.

Можно отметить следующие недостатки модели поверхностных напряжений. Во-первых, с точки зрения механики сплошных сред, модель не является энергетически согласованной, так как при построении модели не вводится функционал энергии, и не записывается лагранжиан, .из которого следуют уравнения модели. Поэтому граничные условия модели не являются естественными граничными условиями, а являются искусственно видоизменёнными классическими граничными условиями, при том, что разрешающее уравнение в объёме (уравнение Эйлера) сохраняет классический вид.

Граничные условия, которые используются в модели поверхностных напряжений, обладают повышенным порядком по сравнению с классической постановкой, так как в закон Лапласа-Янга входит дивергенция от поверхностных напряжений. Поэтому разрешающие уравнения в объёме среды (которые остаются классические) и граничные условия модели являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Как будет показано далее, классические методы решения (метод разделения переменных) не позволяют построить решение такой граничной задачи, а приближённые методы (метод Ритца, метод конечных разностей) дают расходящиеся или некорректные решения. Те решения, которые приводятся, например, в работе [27] являются «слабыми» (интегральными) решениями, так как, не определяя неизвестные функции перемещений (напряжений), авторы строят средние напряжения и деформации присутствующие в среде, через которые' находят эффективные модули.

В недавней работе [46], проводится исследование о возможности построения «слабых» решений в рамках модели с поверхностными напряжениями. Под «слабыми» здесь подразумеваются решения, полученные на основе приближённых вариационных методов. В результате доказывается теорема существования решения в рамках модели поверхностного натяжения в случае положительных значений адгезионных параметров. Отметим, что в настоящей диссертации данный результат подтверждается численными вычислениями. Однако, будет приведён пример использования отрицательных значений' параметра адгезии, в рамках модели градиентной с учётом адгезии и будет показана возможность получения решения для данной модели. Следует отметить важный факт, что поверхностные свойства могут.

14 вносить как упрочняющий эффект в общие свойства среды, так и разупрочняющий (поверждения, на поверхности или дополнительнаянагрузка вследствие действияповерхностного натяжения). Учитывая только положительные значения параметров адгезии в рамках классической модели мы. не можем моделировать наличие разупрочняющих эффектов, и данный недостаток может быть устранён в рамках градиентных моделей.

Ещёодним очевидным недостатком модели с поверхностныминапряжениями является? тот факт, что модель предсказывает отсутствие: адгезии4 в случае однородного поля перемещенийв среде: (например, если считать одно из контактирующих^ел абсолютно твёрдым, то все адгезионныеэффектыв- решении? задачи, исчезают). •.

Кроме этого^. введённый’обобщённый закон! Лапласа-Янга, введённый, в работе [14], В1 действительности, не являетсяполным и не учитывает все: возможные-: деформации наповерхности: среды. В частности, он не учитывает изгибной-жёсткости' поверхности. В работе: [17] показаночто’более, последовательное введение обобщённого закона Гука, на поверхностисреды, с. учётом: всего спектра-поверхностных взаимодействийпозволяет отказаться от искусственного введения * дополнительных: соотношенийна границе сред, иполучить обобщённый^ закон Лапласа-Янга в качестве естественного граничного * условия в направлении1- нормали к поверхности среды. .

Более подробное рассмотрение этого вопроса можно найти в статье [17]. Также в работах [48, 49] показано, что для градиентных моделей адгезионные эффекты являются: неотъемлемым: составляющими и являются следствием градиентной! постановкизадачиПри этом, расширяется список адгезионных параметров: до 6 (включаются новые параметрыопределяющие межфазные взаимодействия на поверхности в направлении нормали) и даётся: — трактовка адгезионных параметров-, как выход полейдефектов на поверхность среды, вследствие чего возникают эффекты адгезии. Отметим, что градиентные, теории^ в работах [48-, 49] строятся на основании последовательной постановке моделей1 с учётом полей дефектов различного типа. При. этом используется г вариационный? подход и кинематический вариационный, принципкоторые также будут: использованы в настоящей диссертации для построения и исследования моделей адгезии.

Решение проблемы адгезионных эффектов в случае однородного поля или отсутствия деформаций в среде возможно в рамках’микрополярной теории [46−48]. При учёте свободных поворотов точек среды тела в тензоре поверхностных упругих модулей, появляется дополнительный адгезионный параметр, связанный с взаимодействиями между точками среды при спинорных деформациях [17]. Таким образом, в случае отсутствия трансляционных перемещений, в среде может реализовываться адгезия, связанная с поворотами точек среды.

Ещё один недостаток, который является общим для всех моделей, претендующих на описание наноструктурированных сред, заключается в том, что неочевидным является сам факт существования поверхностного натяжения на поверхности наноразмерных включений.

Один из важнейших результатов, — получаемых в результате учёта поверхностных свойств в рамках классической теории упругости, является зависимость напряжённо-деформированного состояния и эффективных характеристик среды от масштабных параметров задачи. Между тем, как показано в работах [48−52], модели микрополярных сред также позволяют учитывать масштабные факторы без введение поверхностных свойств. Очевидно, что более полный вариант модели среды, будет учитывать и наличие свободных поворотов точек среды (микрополярность), и поверхностные свойства. Пример такой модели построен в работах [48−450].

Отметим также, что на се1 одняшний день исследования в области континуальных моделей адгезии нося г больше теоретический характер. Существующие работы относятся либо к фундаментальной области теории адгезии либо содержат в себе некие общие прогнозы по свойства сред с адгезионными свойствами. Одна из задач настоящей диссертации заключалась в получении прикладных результатов по исследованию свойств конкретных реальных современных наноструктурированных материалов (композитов, покрытий, пластин и др.) и демонстрации возможностей континуальных моделей в описании механических свойств данных сред, для которых адгезионные и поверхностные свойства, зачастую, играют определяющую роль.

МОДЕЛЬ «ПРУЖИННОЙ» (НЕИДЕАЛЬНОЙ) ПОВЕРХНОСТИ.

При использовании в качестве модифицированных граничных условий закона Лапласа-Янга предполагалось наличие разрыва в напряжениях на контактной границе сред, и выполнение условия равенства по перемещениям.

Модель «пружинной» поверхности (или LSM — Linear Spring Model), наоборот, подразумевает наличие непрерывности напряжений на контактной границе и скачок [и] в перемещениях. Три компоненты вектора перемещений считаются пропорциональными соответствующим поверхностным взаимодействиям, то есть вводится аналог сил действующих при растяжении пружины. Коэффициенты пропорциональности при этом являются характеристиками контактной поверхности [47, 55].

Пружинная" модель впервые была предложена в 1975 году, практически одновременно с. созданием модели поверхностных напряжений, в работе [56], и в дальнейшем была развита в работах [57−61]. В работах Хашина [60, 61] была дана трактовка, в соответствии с которой, разрывные граничным условия по перемещениям соответствуют тонкому податливому межфазному слою, а коэффициенты пропорциональности «пружинных» сил могут быть выражены через упругие постоянные и толщину межфазного слоя.

Вариационная формулировка модели неидеальной поверхности была дана Хашином [62], а также в работе [63]. Отметим, что в рамках «пружинной» модели сложным вопросом является построение функционала энергии, так как в случае учёта на поверхности среды пружинных эффектов, энергия среды будет зависеть от перемещений, что не соответствует известным экспериментальным данным. Однако, считается, что можно показать, что может быть найдено определённое подпространство решений, в которм энергия не будет зависеть от перемещений. Поэтому формально считается, что энергия сред с «пружинной» адгезией может быть построена.

Попытка расширить модель для описания жёстких межфазных слоёв была предложена в работе [64]. В работе [65], был предложен подход к определению термоупругих свойств среды с «пружинными» поверхностями.

Считается [47], что два приведённых подхода с разрывом в напряжениях и с разрывом в перемещениях отражают различное строение приповерхностного слоя в исследуемых материалах. Модели с законом Лапласа-Янга соответствует тонкий и.

17 жёсткий поверхностный слой, а модель со скачком перемещений соответствует тонкому мягкому поверхностному слою [47]. Таким образом, обе модели используются для моделирования адгезионных и масштабных эффектов, но область их применения ограничена материалами с тонким межфазным слоем. Этот недостаток модели может быть устранён в рамках градиентной модели [48−50], в которой помимо поверхностных свойств, учитывается также изменение морфологии приповерхностного слоя (локальные «когезионные» эффекты).

МОДЕЛИ АДГЕЗИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ.

Одним из способов описания адгезии является подход, основанный на учёте адгезионных взаимодействий, как внешних притягивающих сил, действующих на границе контактирующих тел. Преимущественно этот подход находит применение в контактных задачах (например, в задаче1 о внедрении штампов различной формы в упругое полупространство)(см. например[66−72]) и в задачах трибологии [73−78].

В настоящее время существует несколько теоретических приближённых моделей адгезии, имеющих свои области применимости и дающие различные поправки к решению задачи Герца (о контакте 'двух упругих тел с искривлёнными поверхностями) [79].

Исторически, первым был предложен, так называемый, подход DMT (Дерягин, Мюллер, Торопов) в 1975 году [66, 67]. Модель DMT применима для контактирующих тел с малым радиусом’закругления и большой жесткостью. Этот подход основан на учете сил Ван-дер-Ваальса по периметру контактной площадки, которые уменьшают силы упругого отталкивания и приводят к дополнительному притяжению между контактирующими телами. При этом считается, что для макроскопичеких тел геометрия деформированных поверхностей мало отличается от той, что дает решение задачи Герца.

Другой подход к моделированию адгезии в контактных задачах называется JKR подходом (Johnson, Kendall, Roberts). Впервые он был предложен в статье [80] в 1971 в задаче контакта двух сфер с учётом поверхностного взаимодействия. В соответствии с данным методом, предполагается, что в отсутствие внешних сил, прижимающих сферы друг к другу, площадка контакта обладает не нулевой площадью, то есть между сферами существуют адгезионные притягивающие силы. С физической точки зрения, наличие контактной площадки соответствует состоянию.

18 равновесия, которое возникают в результате взаимодействия между отдельными атомами и молекулами обеих тел. Таким образом, при уменьшении расстояния между телами возникают расталкивающие силы, а при отрыве возникают силы адгезионного сцепления. При постановке задачи по модели JKR, вводится плотность поверхностной энергии взаимодействия между сферами, которая характеризуется единственным параметром, и которая, по своему смыслу, является энергией образования единицы новой поверхности при отрыве сфер друг от друга. Далее прикладываются внешние сжимающие силы, и из условиябаланса энергии упругих деформаций сфер, работы внешних сил и энергии поверхностного взаимодействия выводятся уравнения равновесия, с учётом сил адгезии. Таким образом, в модели JKR присутствуют внешние притягивающие силы, действующие на контактной поверхности между фазами. По своему физическому смыслу эти силы являются короткодействующими (обладают нулевым радиусом действия), так как действуют только в пределах контактной площадки при полном контакте фаз. Традиционно, считается, что модель JKR хорошо описывает контактные задачи для макроскопических объектов, у которых радиус кривизны поверхности достаточно велик, а материал хотя бы одного из 'контактирующих тел должен обладать достаточно малой жёсткостью, чтобы деформироваться под действием относительно слабых адгезионные силы. Так, в статье [80], полученное точное решение проверяется в эксперименте с резиновыми шариками. Кроме этого, для жёстких тел реальная область контакта оказывается меньше кажущейся области контакта, вследствие наличия неровностей на поверхности, что не позволяет использовать модель JKR [81].

Важно отметить статью [82], где используется JKR модель для описания контакта тел с изменяющимися свойствами по направлению нормали к границе тела. При этом обнаруживается эффект падения напряжений в области контакта, по сравнению с гомогенными материалами, и в то же время увеличивается рассеивание энергии через трение. Эта модель близка по своему смыслу к когезионно-адгезионной модели механики композитов, и представляется интересным сравнить результаты, полученные авторами в области трибологии с аналогичными результатами для когезионно-адгезионной модели в области механики композитов.

Наиболее общим подходом к описанию адгезии является механика Маугиса-Дюгдейла (MD) [83], предложенная в 1992 году, которая включает в себя как DMT, так и JKR модели. Как показано в [84], модели JKR и DMT являются предельными.

19 случаями модели Маугиса в зависимости от отношения значения адгезионных сил к внешней приложенной нагрузке, поэтому большинство экспериментов могут быть описаны с помощью модели MD. Однако для упрощения вычислений для макроскопических тел с небольшой жёсткостью приемлемо использовать модель JKR, а для тел нанои микромасштаба, обладающих высокой жёсткостью более точные оценки даёт модель DMT [84].

Также существует полуэмпирический метод ВСР (Burnham, Colton, Pollock), полученный в 1991, который не даёт принципиально новых результатов, а позволяет описывать некоторые промежуточные случаи между JKR и DMT подходами [74].

Подробное сравнение всех приведённых выше моделей дано в [74].

В статье [85] предложен интересный подход к описанию адгезии, в котором на основе JKR модели определяется сила трения между двумя сферическими частицами. При этом введено предположение, что в области контакта присутствуют дислокационные кольца и задан закон скольжения дислокаций, определяющий связь i внешней нагрузки, с размером области контакта и с вектором Бюргерса дислокации. Кроме этого, дан критерийобразования дислокаций. В итоге, модель позволяет прогнозировать зависимость силы тренияот размеров контактной площадки (возрастание сил трения при уменьшении области контакта), то есть учитывать масштабные эффекты в рамках задачи трибологии. Этот результат является важным, как отмечают сами авторы, для микрои наноразмерных устройств.

Приведённый выше обзор подходов к описанию адгезионных взаимодействий в контактных задачах подтверждает важность моделирования поверхностных свойств и взаимодействий, в особенности, в микрои наноразмерных структурах. Модели адгезии, построенные в рамках контактной теории упругости и трибологии, направлены на решение специфических задач только в своей области и не адаптированы к постановкам задач механики композитов.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ АДГЕЗИИ В РАМКАХ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе проведено исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микрои нановключениями, керамических материалов). Продемонстрирована возможность адекватного описания свойств наноструктрированных сред в рамках континуальных моделей с учётом адгезии.

Известные ранее модели адгезии получены на основе вариационного принципа. Доказано, что данные модели являются частным случаем общей модели адгезии и могут быть получены на основе предельного перехода.

Исследовано влияние адгезионных параметров на эффективные свойства гетерогенных структур. Определены допустимые значение поверхностных модулей. Проведено моделирование эффекта отклонения от закона Холла-Петча в отношении жесткостных свойств мелкозернистых материалов. Показана согласованность исследуемой модели с молекулярной динамикой. Проведена идентификация параметров на основе методов молекулярной динамики.

Показано, что в рамках одномерной модели с учётом адгезии возможно моделирование угла мениска и эффекта волнообразования на поверхности твёрдых тел. Данный эффект предложен для идентификации адгезионных свойств. Проведено качественное исследование моделей тонких пластин с учётом адгезии. Построена модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках градиентной теории межфазного слоя. Решена задача цилиндрического изгиба адгезионных пластин в рамках различных теорий адгезии и установлена возможность моделирования свойств ультра-тонких пластин и структур типа графена.

Предложена приближённая модель учёта масштабных, градиентных и адгезионных эффектов. Показана достоверность данной модели и проведено численное моделирование механических свойств композитов с наноразмерными включениями.

В качестве внедрения результатов диссертационной работы зарегистрирована программа для ЭВМ «Прогнозирование эффективных свойств наполненных нанокомпозитов.» Свидетельство N2011610162.